ピタゴラスの定理計算機

ピタゴラスの定理は、平面幾何学において最も有用な関係式です。直角三角形において、2つの辺（脚）の長さの二乗の和は、斜辺の長さの二乗に等しくなります。これを数式で表すとa² + b² = c²となります。ここで、a と b は直角を挟む2辺（脚）、c は直角の対辺である斜辺（常に最長の辺）を表します。このチュートリアルでは、この定理を用いて欠けている辺の長さを求める方法、最も一般的なピタゴラスの三つ組を見分ける方法、および三次元空間や座標平面上での適用方法を解説します。

定理の内容と証明

ピタゴラスの定理は、紀元前300年頃のユークリッドの『原論』における命題I.47として記載されていますが、その結果はそれより1000年以上前のバビロニアの数学者たちによっても知られていました。紀元前約1800年の粘土板には、数十個の整数のピタゴラスの三つ組（a, b, c がすべて整数となる組）がリストされています。

この定理は直角三角形にのみ適用されます。三角形に90°の角がない場合、より一般的な余弦定理を使用する必要があります（内角が90°の場合、cos 90° = 0 となるため、余弦定理は a² + b² = c² に帰着します）。

幾何学的な証明の中で最も簡潔なものの一つ：2辺の長さが (a + b) の正方形の中に、直角三角形を4つ配置し、斜辺が内側の正方形を形成するようにします。内側の正方形の面積は c² です。外側の正方形の面積は (a + b)² = a² + 2ab + b² です。外側の正方形から4つの三角形（各面積は ab/2、合計で 2ab）を引くと、c² = (a² + 2ab + b²) − 2ab = a² + b² となり、証明完了（QED）となります。

定理の3つの使い方

既知の辺と求めたい辺によって、数式は以下のように変形されます。

• 斜辺を求める（両方の脚の長さが分かっている場合）： c = √(a² + b²)。
• 脚 a を求める（脚 b と斜辺の長さが分かっている場合）： a = √(c² − b²)。
• 脚 b を求める（脚 a と斜辺の長さが分かっている場合）： b = √(c² − a²)。

脚を求める公式では、平方根の中身は正でなければなりません。もし計算結果が負の数になった場合、計算機に入力した三角形が存在しないことになります（定義により、脚の長さが斜辺より長いことはあり得ません）。

例1 — 斜辺の長さの計算

入力： a = 3, b = 4。 計算： c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25。 c = √25 = 5。

これは最も有名な三角形の一つである3-4-5の直角三角形です。大工や建設業者は、完璧な直角を作るためにこれを利用します。一方の辺に沿って3単位、それに垂直な方向に4単位を測り、対角線がちょうど5単位になるのは、その角が真に直角である場合だけです。

例2 — 脚の長さの計算

入力： c = 13, a = 5。 計算： b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。 b = √144 = 12。

これは5-12-13の三角形であり、これも整数の三つ組です。減算を行っていることに注意してください。脚を求める公式は、定理を変形したものです。

ピタゴラスの三つ組 — 整数解の集合

「ピタゴラスの三つ組」とは、a² + b² = c² を満たす3つの正の整数 (a, b, c) の組のことです。最初のいくつかの原始三つ組（gcd(a, b, c) = 1、つまり最大公約数が1の場合）は以下の通りです。

• 3-4-5（基礎となるもの）
• 5-12-13
• 8-15-17
• 7-24-25
• 20-21-29
• 9-40-41

原始三つ組の任意の倍数も三つ組になります。例えば、6-8-10 (= 2 × 3-4-5)、10-24-26 (= 2 × 5-12-13)、9-12-15 (= 3 × 3-4-5) などです。問題の中に三つ組が含まれていることに気づけば、平方根の計算ステップを完全に省略できます。脚が3と4であれば、計算せずに斜辺が5であると分かります。

三次元への拡張

ピタゴラスの定理は自然に三次元へ拡張されます。辺の長さが a, b, c の直方体があるとき、空間対角線 d（ある頂点から対向する頂点までの距離）の長さは次のように表されます。

d = √(a² + b² + c²)

証明：底面の対角線の長さは通常の定理より √(a² + b²) です。次に、空間対角線は、脚がその底面の対角線と高さ c である直角三角形の斜辺となります。再度定理を適用すると、d² = (a² + b²) + c² となります。3Dピタゴラスの定理計算機で、直方体の対角線に関する問題を解くことができます。

座標平面上の距離公式

2点 P₁ = (x₁, y₁) と P₂ = (x₂, y₂) の間の距離も、この定理の直接的な応用です。水平方向の差 |x₂ − x₁| を1つの脚、垂直方向の差 |y₂ − y₁| をもう1つの脚とする直角三角形を考え、その斜辺の長さが2点間の距離となります。

距離 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

この公式は解析幾何学の全土台です。あらゆる次元におけるすべての距離、大きさ、ユークリッドノルムは、a² + b² = c² の一般化です。

三角形が直角三角形であることを確認する

3辺の長さがすべて分かっている場合、この定理はテストとして機能します。数値を代入して、a² + b² = c² （c は最長の辺）が成り立つかどうかを確認します。成り立てば、その三角形は直角三角形です。a² + b² > c² であれば鋭角三角形（すべての角が90°未満）、a² + b² < c² であれば鈍角三角形（90°を超える角が1つある）となります。これをピタゴラスの定理の逆と呼びます。

よくある間違い

• 斜辺と脚を混同する。 斜辺は常に最長の辺であり、直角の対辺です。「最長の辺が10である」という問題で、10を脚の欄に入力すると、すべての答えが間違ったものになってしまいます。
• 最後に平方根を取るのを忘れる。 定理は c² を与えるものであり、c ではありません。c を得るためには、二乗した脚の和を取った後に平方根を取ります。
• 非直角三角形に適用しようとする。 90°の角がない場合、a² + b² ≠ c² です。代わりに余弦定理を使用する必要があります。
• 単位を混ぜる。 3辺はすべて同じ単位でなければなりません。脚がインチで、斜辺がセンチメートルというように単位を混在させることはできません。

幾何学を超えて

ピタゴラスの定理は平面幾何学をはるかに超えた広がりを持っています。同じ数式は、物理学におけるベクトルの大きさの計算（成分が (vx, vy) の速度ベクトルの大きさは √(vx² + vy²)）、複素数の絶対値（|a + bi| = √(a² + b²)）、および任意の次元におけるユークリッド距離の計算にも用いられます。また、三角関数の恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 の幾何学的起源でもあり、これは単位円上のピタゴラスの三つ組に対応します。