内分点計算機

内分点の公式は、線分を指定された比で分割する点を求めるものです。これは中点の公式を一般化したものであり、中点は比が 1:1 という特殊なケースです。内分点の公式には2つのバージョンがあります：内分（点が2つの端点の間にある場合）と外分（点が線分の延長線上にあり、線分の外側にある場合）です。このチュートリアルでは両方を扱い、相似三角形の原理から導出し、それぞれの計算例を示します。

内分点の公式

2点 P₁ = (x₁, y₁) と P₂ = (x₂, y₂) が与えられたとき、線分 P₁P₂ を比 m:n に内分する点 P は次のように表されます：

P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n),   (my₂ + ny₁) / (m + n) )

点 P は P₁ と P₂ の間にあります。比 m:n とは、P₂ から n 単位離れるごとに P₁ から m 単位離れた位置にあることを意味します。（したがって、m > n の場合、P は P₂ に近く、m < n の場合、P は P₁ に近くなります。）

特殊なケース — 中点

m = n = 1 とすると、次のようになります：

P = ( (1·x₂ + 1·x₁) / 2, (1·y₂ + 1·y₁) / 2 ) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )

これが中点の公式です。中点は線分を比 1:1 に分割し、2つの端点から等距離にあります。

公式の導出

内分点の公式は相似三角形から導かれます。座標平面上に線分 P₁P₂ を考えます。P₁、P、P₂ から x軸へ垂線を下ろします。これにより得られる水平方向の位置はそれぞれ x₁、x_P、x₂ です。

相似三角形より、水平方向の位置の比は、P が線分を分割する比と一致します：

(x_P − x₁) / (x₂ − x_P) = m / n

両辺に交叉乗算すると：n(x_P − x₁) = m(x₂ − x_P)
n · x_P − n · x₁ = m · x₂ − m · x_P
x_P (m + n) = m · x₂ + n · x₁
x_P = (m · x₂ + n · x₁) / (m + n)

y_P についても同様の論理が成り立ちます。これらを組み合わせることで内分点の公式が得られます。

外分点

P が P₁ と P₂ を通る直線上にあり、かつ線分の外側（端点のどちらかを超えた先）にある場合、P は線分を比 m:n に外分しているといいます。

公式の形は似ていますが、符号が反転します：

P_ext = ( (mx₂ − nx₁) / (m − n),   (my₂ − ny₁) / (m − n) )

分子と分母の両方で、足し算ではなく引き算を行います。

等価なトリック：比 m:n での外分は、比 m:(−n) での内分、または equivalently 比 (−m):n での内分と見なすことができます。当計算機は両方に対応しており、外分の場合は n に負の値を入力してください。

計算例 1 — 内分

P₁ = (1, 2) から P₂ = (7, 8) への線分を比 2:1 （内分）に分割する点を求めます。

m = 2, n = 1, m + n = 3。

x_P = (2 · 7 + 1 · 1) / 3 = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5
y_P = (2 · 8 + 1 · 2) / 3 = (16 + 2) / 3 = 18/3 = 6

P = (5, 6)。検算：(1,2) から (5,6) までの距離は √(16+16) = √32 ≈ 5.66。(5,6) から (7,8) までの距離は √(4+4) = √8 ≈ 2.83。比は 5.66 : 2.83 ≈ 2 : 1。✓

計算例 2 — 内分点の公式を用いた中点

P₁ = (2, −3) と P₂ = (8, 5) の中点を求めます。m = n = 1 として内分点の公式を使用します：

x_M = (1 · 8 + 1 · 2) / 2 = 10/2 = 5
y_M = (1 · 5 + 1 · (−3)) / 2 = 2/2 = 1

M = (5, 1)。標準的な中点の公式と同じ答えになります。

計算例 3 — 外分

P₁ = (1, 2) と P₂ = (4, 5) を比 3:2 で外分する点を求めます。

x_P = (3 · 4 − 2 · 1) / (3 − 2) = (12 − 2) / 1 = 10
y_P = (3 · 5 − 2 · 2) / (3 − 2) = (15 − 4) / 1 = 11

P = (10, 11)。この点は P₁ と P₂ を結ぶ直線上にあり、P₂ の先（線分を延長した先）にあります。

3次元への拡張

中点の公式と同様に、内分点の公式も z座標の項を追加することで3次元に拡張できます：

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n))

各成分（x, y, z）すべてが同じ比で分割されます。

三角形の重心 — 内分点の公式の応用

頂点 A, B, C を持つ三角形の重心（3つの中線の交点）は次の位置にあります：

重心 = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

これは各中線を 2:1 に分割する点です。重心は、頂点から対辺の中点へ向かう中線を、頂点側から 2:1 の比で分割します。頂点 : (対辺の中点) を比 2:1 で内分する公式を適用すると、上記の重心が得られます。

1/3 の平均値という形は、この特殊なケースに対して内分点の公式を計算して簡略化した結果です。

実世界での応用

• 測量と地図作成。 2つの既知の点の間のある割合の位置にある線上の点を特定する。
• コンピュータグラフィックス。 アニメーションの補間：パス P₁ → P₂ 上の時間 t における位置は、t : (1−t) の内分点であり、通常 P(t) = (1−t)P₁ + tP₂ と書かれます。内分点の公式と同じ考え方です。
• 物理学 — 重心。 P₁ に質量 m₁、P₂ に質量 m₂ の2つの質点の重心は、P₁P₂ を比 m₂ : m₁ で内分する点です（重い方の点が重心を引き寄せます）。
• 建築。 美的または構造的な目的のために、梁、柱、ファサードを比例した位置で分割する（黄金比 φ ≈ 1.618 が有名な例です）。

よくある間違い

• 公式で m と n を逆にする。 内分の公式では、m は x₂ に、n は x₁ に掛かります。つまり、m は遠くの点に対応します。これを逆にすると異なる点になってしまいます。
• 内分と外分を混同する。 内分では P は P₁ と P₂ の間にあります。外分では P は外側にあります。問題文が「内分」か「外分」か、あるいは文脈からどちらかを示しているかを確認してください。
• 比を約分し忘れる。 比 4:6 で分割する点は、比 2:3 で分割する点と同じです。約分すると、より小さな数値で同じ答えが得られます。
• 共線でない点に公式を使う。 内分点の公式は常に P₁ と P₂ を通る直線上の点を生成します。その直線上にない点を作りたい場合、内分点の公式は適切な道具ではありません。