線分二等分線計算機

線分の垂直二等分線は、その中点で直角（90°）に交わる直線です。これは幾何学において最も重要な作図の一つであり、線分の2つの端点から等距離にあるすべての点からなる唯一の直線です。垂直二等分線計算機は2つの端点の座標を入力とし、垂直二等分線の方程式を返します。このチュートリアルでは、垂直二等分線が持つ特殊性、方程式の導出、および三角形幾何学におけるより広範な役割（外心、垂直二等分線の定理）について解説します。

2つの定義的な性質

直線が線分ABの垂直二等分線であるためには、以下の両方の条件が満たされなければなりません：

1. 線分ABの中点を通ること。
2. 線分ABと垂直（90°）であること。

どちらか一方の性質だけでは不十分です。中点を通るが垂直ではない直線は単なる「二等分線」であり、中点を通らないが垂直な直線は単なる「垂線」です。垂直二等分線は、この2つの条件を同時に満たす唯一の直線です。

等距離性の性質

垂直二等分線には、その軌跡としての定義という驚くべき性質があります：

点Pが線分ABの垂直二等分線上にあるための必要十分条件は、PがAおよびBから等距離にあることです。

これが垂直二等分線の定理です。つまり：

• 垂直二等分線上のすべての点は、2つの端点から等しい距離にあります。
• 逆もまた真で、AおよびBから等距離にある任意の点は、垂直二等分線上にあります。

幾何学的には：垂直二等分線は、AおよびBから等距離にあるすべての点の集合です。この軌跡による特徴づけが、垂直二等分線が距離に基づく多くの作図に登場する理由です。

worked example — 垂直二等分線の求め方

点A = (2, 1) から点B = (8, 5) までの線分の垂直二等分線を求めます。

ステップ1：中点を求める。

M = ((2 + 8) / 2, (1 + 5) / 2) = (5, 3)。

ステップ2：線分ABの傾きを求める。

m_AB = (5 − 1) / (8 − 2) = 4 / 6 = 2/3。

ステップ3：垂直な傾きとして負の逆数を取る。

m_perp = −1 / (2/3) = −3/2。

ステップ4：点傾形式で方程式を書く。

y − 3 = (−3/2)(x − 5)

または傾き切片形式で：y = (−3/2)x + 15/2 + 3 = y = (−3/2)x + 10.5。

検証 — 等距離の確認

垂直二等分線上の点を選ぶ — 例えば中点 (5, 3)。Aまでの距離 = √((5−2)² + (3−1)²) = √13。Bまでの距離 = √((5−8)² + (3−5)²) = √13。等しい。✓

別の点を試す。二等分線の方程式より、x = 1 のとき：y = −1.5 + 10.5 = 9。点 (1, 9) からAまでの距離 = √(1 + 64) = √65。Bまでの距離 = √(49 + 16) = √65。等しい。✓

外心

4つの古典的な「三角形の中心」の一つ：外心は、三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点です。これは外接円の中心であり、3つの頂点をすべて通る唯一の円の中心です。

なぜ3本が1点で交わるのか：各垂直二等分線は、三角形の2つの頂点から等距離にある点の軌跡です。辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点は、A、B、Cの3点から等距離にあるため、辺CAの垂直二等分線上にもあります。したがって3本は1点で交わります（共点）。

外心から各頂点までの距離は外接半径 R に等しい。鈍角三角形の場合、外心は三角形の外部に位置します。

コンパスと定規による作図

垂直二等分線は、基本的なコンパスと定規による作図の一つです：

1. コンパスの開きを、線分の長さの半分より広く開きます。
2. コンパスの針を一方の端点に置き、線分の両側に弧を描きます。
3. コンパスの開きを変えずに、もう一方の端点に針を置き、線分の両側に弧を描きます。これらの弧は2点で交差します（線分の上方と下方に1つずつ）。
4. 定規を使って、それら2つの交点を結びます。これが垂直二等分線です。

なぜうまくいくのか：コンパスの設定により、2つの交点は両方の端点から等距離にあります（それぞれ同じ半径の弧が交差するため）。垂直二等分線の定理により、これらの等距離にある点は垂直二等分線上にあるため、それらを結ぶ直線がまさに二等分線となります。

垂直な傾きの公式

傾きが m₁ および m₂ である2つの直線が垂直であるための必要十分条件は：

m₁ × m₂ = −1

（同値な表現：m₂ = −1/m₁ — 「負の逆数」）。

特殊ケース：

• 水平な線分（傾き 0）：垂直な傾きは定義されない → 二等分線は垂直。
• 垂直な線分（傾き定義されない）：垂直な傾きは 0 → 二等分線は水平。
• 傾き 1：垂直な傾きは −1。

現実世界での応用

• 等距離の施設の位置決定。 新しい消防署は既存の2つの消防署から等距離にあるべきです — それらの間を結ぶ線分の垂直二等分線上に設置します。
• 調整／公平性の問題。 2つの境界から等距離に土地を分割する場合、垂直二等分線の概念を使用します。
• コンピュータグラフィックス。 ボロノイ図は「シード」点への距離に基づいて平面を分割します；ボロノイ細胞の境界はシード点間の垂直二等分線です。
• GPS測位。 既知の点からの距離に基づいて位置を特定するには、垂直二等分線の交点を使用します。

よくある間違い

• 負の逆数ではなく元の傾きを使用する。 垂直二等分線の傾きは、線分の傾きの負の逆数であり、同じではありません。
• 中点を通ることを忘れる。 線分ABに垂直だが中点を通らない直線は「垂直二等分線」ではなく、単なる「垂線」です。両方の条件が重要です。
• 垂直二等分線と角の二等分線を混同する。 異なる概念です：垂直二等分線は線分に対して適用され、角の二等分線は角を2等分に分割します。
• 垂直な線分の「負の逆数」を未定義として扱う。 垂直な線分は傾きが定義されませんが、それに垂直な直線の傾きは 0（水平）です。公式ではなく、特殊ケースのルールを使用してください。