線分長さ計算機

線分とは、2つの端点間の直線の直線的な部分のことです。その長さは、それらの端点間の直線距離であり、距離の公式を用いて測定されます：

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

この線分長計算機は、2つの端点の座標を入力として受け取り、線分の長さを返します。この公式は、点間の水平方向および垂直方向の差に対してピタゴラスの定理を直接適用したものです。本チュートリアルでは、導出過程を説明し、例題を通じて解説するとともに、線分の長さが変位、距離、およびより広範な計量（メトリック）の概念とどのように関連しているかを示します。

公式がピタゴラスの定理から導かれる理由

2点 P₁ = (x₁, y₁) と P₂ = (x₂, y₂) が与えられたとき、以下の性質を持つ直角三角形を描きます：

• 水平な辺の長さは |x₂ − x₁| （x座標の差）
• 垂直な辺の長さは |y₂ − y₁| （y座標の差）
• 斜辺は P₁ から P₂ への線分

ピタゴラスの定理より：d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²。正の平方根をとると：d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)。

辺の絶対値記号は、2乗することで消去されます。2乗は符号を打ち消すため、公式から絶対値記号を外すことができます。

worked example 1 — 第一象限

P₁ = (3, 1) から P₂ = (7, 4) までの線分の長さを求めます。

Δx = 7 − 3 = 4, Δy = 4 − 1 = 3。
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5。

これは、座標幾何学の中に隠れた3-4-5の直角三角形であることに注意してください。

worked example 2 — 負の座標

P₁ = (−2, 1) から P₂ = (3, −4) までの長さを求めます。

Δx = 3 − (−2) = 5, Δy = −4 − 1 = −5。
d = √(25 + 25) = √50 ≈ 7.07。

負の数を引くことは正の数を足すことと同じです。つまり、3 − (−2) = 5 であり、1 ではありません。Δyについても同様で、−4 − 1 = −5 となり、これを2乗すると25になります。

worked example 3 — 垂直な線分

P₁ = (5, 2) から P₂ = (5, 8) までの長さを求めます。

Δx = 0, Δy = 6。
d = √(0 + 36) = 6。

純粋に垂直（または水平）な線分の場合、座標の差のどちらかが0となり、公式は残りの差の絶対値のみになります。

3次元への拡張

2つの3次元点 P₁ = (x₁, y₁, z₁) と P₂ = (x₂, y₂, z₂) の場合：

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

パターンは拡張されます：z座標の差の2乗を加えます。任意の次元数において、この公式は常に「平方根の下にある差の2乗和」という形をしています。

距離と変位

関連しつつも異なる2つの概念：

• 距離（線分の長さ）：常に正の数。線分の大きさ。d = √(Δx² + Δy²)。
• 変位：大きさと方向の両方を持つベクトル。(Δx, Δy) と表記されます。成分のいずれかが「負」になることもあります。

この計算機は距離（長さ）、つまりスカラー量を計算します。ベクトル変位を得るには、符号付きの差 (x₂ − x₁) と (y₂ − y₁) を個別に見ます。

線分長の性質

• 非負性： 長さは常に ≥ 0 です。「長さ0」の線分とは、2つの端点が同一の点である場合のみです。
• 対称性： length(P₁, P₂) = length(P₂, P₁)。方向は関係ありません。
• 三角不等式： いかなる3点 P, Q, R についても、length(P, R) ≤ length(P, Q) + length(Q, R) が成り立ちます。Qを通る経路は、PからRへ直接行くよりも短くなることはありません。

これら3つの性質は、「測度空間（metric space）」を定義する公理です。これは抽象的な数学的空間における距離の一般化です。

関連する計算

• 線分の中点： M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。詳細は距離と中点計算機をご覧ください。
• 線分の傾き： m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)。詳細は傾き計算機をご覧ください。
• 内分点・外分点： 線分を特定の比率で分割する点を求める。詳細は内分公式計算機をご覧ください。
• 垂直二等分線： 線分の中点で90°交わる直線。詳細は線分二等分線計算機をご覧ください。

現実世界での応用

• ナビゲーション。 2つのGPS位置間の直線距離の計算（地球を平面とみなす近似では小距離向け；地球規模では球面幾何学を使用）。
• 物理学 — 運動学。 2つの時刻間の移動距離 = 2つの位置ベクトル間の線分長。
• コンピュータグラフィックス。 画面内の任意の2つのピクセル間の距離には、この公式が直接使用されます。
• ロボティクス。 パスプランニングアルゴリズムは、経路長を評価するために線分長を使用します。
• アニメーション。 一定速度で2つのキーフレーム間で補間するには、時間を位置にマッピングするために線分長を計算する必要があります。

非ユークリッド空間における距離

ユークリッド距離の公式は、平坦な（ユークリッドな）座標平面を前提としています。他の幾何学では異なる距離公式が使用されます：

• マンハッタン距離（タクシー cab 距離）：d = |Δx| + |Δy|。対角線ではなく、グリッド（マンハッタンの街並みなど）に沿った距離。
• 球面距離（地球規模）：地球の曲率を考慮するハヴェルサイン公式を使用します。
• 双曲距離：特殊相対性理論や非ユークリッド幾何学で使用されます。

日常の学校や工学の作業では、ユークリッドの公式が必要となります。

よくある間違い

• 2乗し忘れる。 公式は差を絶対値にするだけでなく2乗します。2乗し忘れると、誤った（線形な）結果になります。
• 最後に平方根をとるのを忘れる。 ピタゴラスの形は d² を与えるものであり、d ではありません。最後に √ を取ります。
• ルートの中が負になる。 式 (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² は、平方和であるため常に ≥ 0 です。負になった場合は、代数計算のエラーがあります。
• 2次元と3次元の公式を混同する。 2次元では2つの2乗項があり、3次元では3つあります。間違った公式を使うと、次元の異なる誤った答えになります。