三角形合同公理計算機

三角形合同条件判定計算機は、特定の質問に答えるものです：「この測定値のセットが与えられたとき、どの合同条件（SSS、SAS、ASA、AAS、またはHL）が適用されるか？」 これは、合同そのものを証明する三角形合同計算機と補完的な役割を果たす検出・識別ツールです。本チュートリアルでは、5つの合同条件、どの条件を適用するかを選ぶための判断ロジック、そして機能するように見えるが実際には使えない罠パターン（SSA、AAA）について解説します。

有効な5つの合同条件

判断木

持っている測定値に基づき、以下の判断木を進めてください：

1. 両方の三角形は直角三角形ですか？ はいの場合、斜辺と1辺があれば → HLを使用。
2. 3辺すべてを持っていますか？ はいの場合 → SSSを使用。
3. 2辺と1角を持っていますか？ その角が2辺の間にあるか確認してください。はいの場合 → SASを使用。いいえの場合（SSAパターン） → 有効な条件ではないため、以下を参照。
4. 2角と1辺を持っていますか？ その辺が2角の間にあるか確認してください。はいの場合 → ASAを使用。いいえの場合 → AASを使用（これも有効）。
5. 3角のみを持っていますか？ → 合同を証明するには不十分です（相似性のみを示す）。

worked example 1 — SASの認識

2つの三角形それぞれに、辺が7と9、およびその間の角が50°あります。どの条件が適用されますか？

50°の角は2辺の間にあるため → SAS。三角形は合同です。

worked example 2 — ASAとAASの認識

2つの三角形それぞれに、角が40°と80°、および辺6があります（辺6は両方の三角形で2角の間にある）。

辺が2角の間にあるため → ASA。合同です。

もし代わりに辺6が1つの角の対辺にある場合（間になければ）、それはAASとなります — 依然として合同ですが、条件の名前が異なります。

worked example 3 — HLの認識

2つの直角三角形それぞれに、斜辺が13、1辺が5あります。どの条件が適用されますか？

両方が直角三角形であり、斜辺と1辺が一致するため → HL。残りの辺は三平方の定理（5-12-13のピタゴラス数）により12に固定されるため、6つの要素すべてが一致します。

罠 — SSAとAAA

SSA（辺-辺-角、非挟み角）

2辺と、その間に挟まれていない角。これは「曖昧なケース」と呼ばれ、同じSSAの設定でも、0個、1個、または2個の三角形が存在し得ます。有効な合同条件ではありません。

例外：HL。これは直角を含むSSAです。90°という条件により曖昧さが解消されます。

AAA（角-角-角）

3つの角がすべて一致。これは相似性を証明するだけであり、合同性は証明しません。2つの三角形は同じ形状ですが、大きさは任意です。

問題でAAAを見つけた場合、相似から合同へ昇格させるために、少なくとも1辺の一致が必要です。

複数の条件が適用されそうな場合はどうすればよいですか？

時に、複数の条件を満たす十分な情報がある場合があります。例えば：3辺すべてと3角すべてを知っている場合、強調する部分集合に応じてSSS、SAS、ASA、またはAASのいずれかを引用できます。与えられた要素を最少使用するものを選んでください — 通常はSSS（最も単純）またはHL（直角三角形の場合）。

なぜこれら5つの条件なのか？

これら5つの条件は、三角形の測定値における最小かつ十分な組み合わせをすべてカバーしています：

• 3辺を指定する → SSS
• 2辺＋1角（挟み角）を指定する → SAS
• 2角＋1辺を指定する → 挟み方に応じてASAまたはAAS
• 直角三角形：斜辺＋1辺 → HL（特殊ケース）

3つ未満の要素では不十分です。3つ超えると冗長になります。機能しない組み合わせ（SSA、AAA）は、曖昧なパターンです。

現実世界での応用

• 測量。 特定の辺と角を測定することで、2つの三角測量された土地区画が合同であることを検証する。
• 工学。 製造された2つの三角形部品（トラス部品、フレーム支持部など）が同一であることを確認する。
• 品質管理。 生産された部品が仕様と一致していることを検査する。
• コンピュータグラフィックス。 レンダリング前に、三角形メッシュが適切な合同性質を持っていることを検証する。

一般的な間違い

• SSAを条件として引用する。 SSAは有効な条件ではありません（HLを除く）。SSAが一致する2つの三角形が合同であるとは限りません。
• ASAとAASを混同する。 どちらも機能しますが、名称は異なります。ASA＝辺が2角の間にある。AAS＝辺が2角の間にない（ただし、どちらかの角の対辺である）。
• HLが直角三角形にのみ適用されることを忘れる。 直角でない三角形でHLを引用しないでください。
• AAAを合同条件として扱う。 等しい角は相似性のみを証明します。合同性を証明するには、少なくとも1辺を追加する必要があります。