三角不等式定理計算機

三角形不等式定理は、平面幾何学における最も基本的な命題の一つです：三角形の任意の2辺の和は、残りの1辺より厳密に大きい。同値な表現では、どの辺も他の2辺の和以上にはなり得ません。このチュートリアルでは、この定理の証明を行い、「厳密に大きい」ことの重要性を説明し、任意の3つの長さの組が三角形を形成できるかどうかを検証する方法を示し、さらに同じ不等式がベクトルノルムや測度空間においてどのように一般化されるかを示します。

定理の3つの表現

辺の長さが a, b, c である任意の三角形において、以下の3つすべてが成り立たなければなりません：

a + b > c
a + c > b
b + c > a

簡潔な同等表現：最長の辺は、他の2辺の和より小さくなければならない。

厳密な不等号（>）が重要です。もし a + b = c がちょうど成り立つ場合、「三角形」は1つの線分へと潰れ、3点は同一直線上にあります（共線）。この退化したケースは三角形ではありません。

定理が真である理由 — 幾何学的直感

3本の棒を端から端まで並べて輪っかに閉じようとするイメージを持ってください。棒の長さを a = 3, b = 4, c = 10 とします。

c を地面に水平に置きます。c の一方の端から棒 a を上方にヒンジで接続し、c のもう一方の端から棒 b を上方にヒンジで接続します。そして、a と b の自由な端同士をくっつけようと試みます。

a が基点から届く最大の高さは、垂直に立てた場合でも 3 です。b が基点から届く最大の高さは、垂直に立てた場合でも 4 です。2つの基点間の距離は 10 です。両方の棒が垂直に立っていたとしても、その自由な端の水平方向の距離は 10 離れており、互いに会うことはできません。結論：辺の長さが 3, 4, 10 の三角形は存在しません。

ここで c = 10 を c = 6 に置き換えると、基点間の距離は 6 になります。長さ 3 の棒 a は最大でも 3 の範囲しか届きません。したがって、a + b = 7 は c = 6 より大きくなければならず、実際 7 > 6 なので成立します。2つの自由な端は、直線上のどこかの点で出会え、三角形を形成します。

形式的証明 — 最短経路原理を用いて

2点間の最短経路は、それらを結ぶ直線です。他のあらゆる経路はこれより厳密に長くなります。

頂点を A, B, C とし、それぞれの対辺の長さをそれぞれ a, b, c とする三角形を考えます。A から B へ直接移動する経路（長さ c）は、A から C を経由して B へ移動する経路（長さ b + a）よりも短くなります。したがって c < b + a、すなわち a + b > c です。

他の2つの頂点の組についても同様の議論を適用すると、a + c > b および b + c > a が得られます。

3つの数の検証

(a, b, c) が三角形を形成できるかどうかを確認するには、最長の辺のみを検証すれば十分です。最長の辺が他の2辺の和より小さい場合、三角形は有効です。等しいかそれを超えている場合は、三角形は形成されません。

検証例：

• (3, 4, 5): 最長辺 = 5。他の2辺の和 = 7。5 < 7 ✓ — 有効な三角形（有名な 3-4-5 の直角三角形）。
• (5, 7, 12): 最長辺 = 12。他の2辺の和 = 12。12 ≥ 12 ✗ — 退化（直線）。
• (2, 3, 6): 最長辺 = 6。他の2辺の和 = 5。6 > 5 ✗ — 不可能。
• (1, 1, 1): 最長辺 = 1。他の2辺の和 = 2。1 < 2 ✓ — 有効（正三角形）。

2辺が与えられたときの第3辺の範囲

2辺の長さが分かっている場合、第3辺の長さは制約を受けます。a と b が与えられたとき、第3辺 c は以下を満たさなければなりません：

|a − b| < c < a + b

上界は三角形不等式です。下界も同じ不等式を異なる組み合わせに適用したものです。もし c が |a − b| 以下であれば、a と b のうち長い方が、c と短い方の和を超えてしまい、不等式に違反します。

例：a = 4, b = 7 の場合。すると 3 < c < 11 となります。第3辺は、3 と 11 の間の任意の実数になり得ます。

「厳密な不等号」が重要な理由

境界ケース a + b = c は、「退化した三角形」— 3点が同一直線上にある状態 — を生じます。一部の教科書では「三角形」の定義に退化した三角形を含めるため、不等号が ≤ になることがあります。しかし、主流の慣習では厳密な不等号（>）を要求しており、ほとんどの計算機（当サイトを含む）では等号成立の場合を無効とみなします。

ベクトル形式での同じ定理

三角形不等式はベクトルに対して一般化されます。任意の次元における任意の2つのベクトル u, v について：

|u + v| ≤ |u| + |v|

（等号成立は、u と v が全く同じ方向を向いている場合、すなわち退化した場合に限ります）。これはユークリッドノルムにおける三角形不等式です。この形状はさらに内積空間、ノルム線形空間、測度空間へと一般化されます。この不等式は、測度 d の定義的な公理の1つです：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。

つまり、幾何学的な三角形不等式は平面幾何学における単なる興味深い事実ではなく、数学における「距離」の定義的な性質なのです。

よくある間違い

• 3つの不等式のうちの1つだけをチェックすること。 3つすべてが成り立たなければなりません。(3, 4, 5) は a + b > c を満たしますが、a + c > b および b + c > a も確認する必要があります。幸いこれらも満たしています。(3, 4, 8) の場合、a + b > c は失敗します：3 + 4 = 7 < 8 となり、無効です。三角形を除外するには1つの失敗を見つけさえすれば十分ですが、計算機は明確にするために3つすべてを検証します。
• ≥ を > の代わりに使うこと。 厳密な不等号です。3点がすべて同一直線上にある退化した「三角形」は、三角形ではありません。
• 「有効な三角形」と「有効な直角三角形」を混同すること。 三角形不等式は、任意の三角形が存在するかどうかを決定します。その三角形が直角三角形かどうかを確認するには、別途 a² + b² = c² （ピタゴラスの定理によるテスト、ここで c は最長辺）を検証する必要があります。
• すべての辺が正でなければならないことを忘れること。 辺の長さが 0 または負の場合、他の辺がどうであれ三角形を形成することはできません。