Un cono con la misma base y la misma altura que un cilindro tiene exactamente un tercio del volumen del cilindro. Este es uno de los hechos más sorprendentes de la geometría elemental 3D: el cono se estrecha suavemente desde la base hasta el vértice, por lo que podrías suponer que tiene la mitad del volumen del cilindro (el radio "promedio" es la mitad del radio del cilindro), pero en realidad es un tercio. Esta guía demuestra el factor 1/3 de tres maneras diferentes: una demostración práctica en el aula, una derivación mediante cálculo integral y el principio de Cavalieri. Cada demostración ofrece una intuición diferente de por qué el 1/3 es correcto.
Para un radio de base r y una altura h:
La fórmula del cono es la fórmula del cilindro multiplicada por 1/3. Ese 1/3 es la parte que todos quieren que se explique.
Esta es la demostración que la mayoría de los profesores usan en la escuela secundaria o en los primeros años de preparatoria. Es empírica, no simbólica, pero no deja lugar a dudas.
Descubrirás que: exactamente tres conos llenan el cilindro. El volumen del cilindro es tres veces el del cono. El cono contiene 1/3 del volumen del cilindro.
Esta demostración funciona independientemente del radio o la altura específicos — siempre que el cono y el cilindro coincidan. La relación 1/3 es universal.
Para una demostración más rigurosa, toma un cono con radio de base r y altura h, orientado con el vértice en el origen apuntando hacia arriba en el eje z. A una altura z desde el vértice, el radio del cono en ese nivel es (por triángulos semejantes):
radio en la altura z = (r / h) × z = rz/h
La sección transversal a la altura z es un círculo de radio rz/h, con área π(rz/h)² = πr²z²/h².
Para encontrar el volumen, integra el área de la sección transversal desde z = 0 (vértice) hasta z = h (base):
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
Saca las constantes:
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
La integral de z² de 0 a h es z³/3 evaluada en h menos el valor en 0, que es h³/3 − 0 = h³/3.
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h.
El factor 1/3 proviene de la integral de z² — es decir, del hecho de que el radio del cono crece linealmente con la altura, por lo que su ÁREA de sección transversal crece cuadráticamente (∝ z²), e integrar z² da z³/3 (la fuente del 1/3).
El matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647) descubrió un principio que permite comparar volúmenes sin integración: dos sólidos de igual altura tienen el mismo volumen si sus secciones transversales a cada nivel horizontal tienen la misma área.
Comienza con un cubo de lado h. El cubo tiene volumen h³. Ahora construye tres pirámides idénticas, cada una con una base cuadrada de lado h y altura h, que juntas llenan exactamente el cubo. (Esta es la clásica demostración de "tres pirámiles apiladas"). Dado que las tres pirámides llenan exactamente el cubo, cada pirámide tiene volumen h³/3.
Esto demuestra el factor 1/3 para las pirámides de base cuadrada. Ahora aplica el principio de Cavalieri: cualquier pirámide o cono con la misma área de base y la misma altura que una de estas pirámides cuadradas tiene el mismo volumen. La sección transversal a cada nivel coincide en área (porque el área de la sección transversal depende solo del factor de escala lineal, que es el mismo a cada nivel para conos y pirámides de idéntica altura y área de base).
Por lo tanto: volumen del cono = (área de base)(altura)/3. Para una base circular de radio r: área de base = πr². Así que V_cono = πr²h/3.
El radio "promedio" del cono (promediado desde 0 en el vértice hasta r en la base) es r/2. Así que podrías suponer que el cono es como un cilindro de radio r/2, lo que daría un volumen π(r/2)²h = πr²h/4.
Pero ese cálculo es incorrecto porque el radio del cono NO es uniformemente r/2 en toda su longitud — es 0 en el vértice, ligeramente superior a 0 cerca del vértice y crece linealmente hasta r en la base. La mayor parte del volumen del cono está en la porción inferior (donde las secciones transversales son más grandes), por lo que el radio "efectivo" es mayor que el promedio.
La integral de z² en lugar de que z² sea constante es precisamente lo que captura esto. El 1/3 proviene de integrar la función lineal al cuadrado — el crecimiento cuadrático integra a cúbico, y ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3 es la respuesta universal para cualquier forma cuya sección transversal escala como el cuadrado de la distancia desde el vértice.
En 2D, un "cono" es un triángulo. Su área es ½(base)(altura) — ese es el factor 1/2. El triángulo es para el rectángulo de igual base y altura lo que el cono es para el cilindro.
En 3D, el cono sobre una base 2D tiene volumen (1/3)(área de base)(altura). El factor 1/3.
En 4D, el cono sobre una base 3D tiene hipervolumen (1/4)(volumen de base)(altura). El factor 1/4.
El patrón general: un cono en n+1 dimensiones tiene volumen (1/(n+1)) × (medida de base en n dimensiones) × altura. El factor 1/(n+1) proviene de integrar xⁿ.
Así que el 1/3 para el cono 3D es parte de una familia: es simplemente el caso n = 2 de la fórmula general. No es arbitrario en absoluto.
Un cono de helado tiene un radio de base de 2.5 cm y una altura de 10 cm. ¿Cuál es su volumen?
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2.5² × 10 = (1/3) × π × 6.25 × 10 = 62.5π/3 ≈ 65.45 cm³.
Para comparar, un cilindro con el mismo radio y altura tiene volumen πr²h = π × 6.25 × 10 = 62.5π ≈ 196.35 cm³. El cono es exactamente un tercio: 196.35 / 3 = 65.45. ✓
Curiosamente, el área de superficie del cono NO tiene una relación limpia de 1/3 con la del cilindro. El área de superficie lateral del cono es πrℓ donde ℓ = √(r² + h²) es la altura inclinada. La superficie lateral del cilindro es 2πrh. Estas no están relacionadas por un factor constante.
La regla del 1/3 se aplica específicamente al volumen — una medida del contenido 3D. El área de superficie es una medida 2D del límite y sigue relaciones geométricas diferentes.
La Calculadora de Esfera/Cilindro/Cono maneja las tres formas — selecciona cono, introduce el radio y la altura, y obtén el volumen + área de superficie. La página Fórmula del Cono es una referencia dedicada a las fórmulas. Para el teorema de Pitágoras 3D que da la altura inclinada ℓ a partir de r y h, consulta la Calculadora del Teorema de Pitágoras 3D.
¿Qué pasa con un tronco de cono (cono con la parte superior cortada)? El volumen de un tronco de cono es V = (1/3)πh(R² + Rr + r²), donde R y r son los dos radios circulares paralelos y h es la distancia perpendicular entre ellos. Compáralo: se reduce a la fórmula del cono cuando r = 0.