동일한 밑면과 동일한 높이를 가진 원뿔은 원기둥 부피의 정확히 1/3을 차지합니다. 이것은 초등 3D 기하학에서 가장 놀라운 사실 중 하나입니다. 원뿔은 밑면에서 정점까지 매끄럽게 가늘어지므로, 원기둥 부피의 절반(평균 반경은 원기둥 반경의 절반)일 것이라고 추측할 수 있지만, 실제로는 1/3입니다. 이 가이드는 1/3 인자를 세 가지 다른 방법으로 증명합니다: 실습 교실 시연, 적분 미적분 유도, 그리고 카발레리의 원리입니다. 각 증명은 1/3이 왜 정확한지에 대한 다른 직관을 제공합니다.
밑면 반지름 r과 높이 h에 대해:
원뿔 공식은 원기둥 공식에 1/3을 곱한 것입니다. 그 1/3이 모두가 설명을 원하는 부분입니다.
이것은 대부분의 교사가 중학교나 고등학교 초기에 사용하는 증명입니다. 이것은 경험적이며, 기호적이지는 않지만, 의심의 여지가 없습니다.
다음과 같은 결과를 얻게 됩니다: 정확히 세 번의 원뿔 분량이 원기둥을 가득 채웁니다. 원기둥의 부피는 원뿔의 세 배입니다. 원뿔은 원기둥 부피의 1/3을 담습니다.
이 시연은 구체적인 반지름이나 높이에 관계없이 작동합니다. 원뿔과 원기둥이 일치하기만 하면 됩니다. 1/3의 비율은 보편적입니다.
더 엄밀한 증명을 위해, 밑면 반지름 r과 높이 h를 가진 원뿔을 z축 위쪽으로 향하는 원점에 정점이 있도록 취합니다. 정점으로부터 높이 z에서 원뿔의 그 수준에서의 반지름은 (닮은 삼각형에 의해) 다음과 같습니다:
높이 z에서의 반지름 = (r / h) × z = rz/h
높이 z에서의 단면은 반지름 rz/h인 원이며, 그 면적은 π(rz/h)² = πr²z²/h²입니다.
부피를 구하기 위해, z = 0 (정점)에서 z = h (밑면)까지 단면적을 적분합니다:
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
상수를 밖으로 빼내면:
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
z²의 0부터 h까지의 적분은 h에서 평가한 z³/3 빼기 0에서의 값으로, h³/3 − 0 = h³/3입니다.
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h.
1/3 인자는 z²의 적분에서 나옵니다. 즉, 원뿔의 반지름이 높이에 따라 선형적으로 증가하므로, 그 단면적은 이차적으로(∝ z²) 증가하고, z²를 적분하면 z³/3이 되기 때문입니다 (1/3의 원천).
이탈리아 수학자 보나벤투라 카발레리 (1598-1647)는 적분 없이 부피를 비교할 수 있게 하는 원리를 발견했습니다: 높이가 같은 두 입체는 모든 수평 수준에서의 단면적이 같으면 부피도 같습니다.
한 변이 h인 정육면체로 시작하세요. 정육면체의 부피는 h³입니다. 이제 정확히 이 정육면체를 채우는 세 개의 동일한 각뿔을 구성하세요. 각각은 한 변이 h인 정사각형 밑면과 높이 h를 가집니다. (이것은 고전적인 "세 개의 각뿔이 쌓여 있는" 시연입니다.) 세 개의 각뿔이 정확히 정육면체를 채우므로, 각각의 각뿔 부피는 h³/3입니다.
이것은 정사각형 밑면 각뿔에 대한 1/3 인자를 증명합니다. 이제 카발레리를 적용하세요: 이 정사각형 각뿔 중 하나와 동일한 밑면적과 동일한 높이를 가진 모든 각뿔 또는 원뿔은 동일한 부피를 가집니다. 모든 수준의 단면적은 일치합니다 (단면적은 선형 스케일링 팩터에만 의존하기 때문에, 동일한 높이와 밑면적을 가진 원뿔과 각뿔의 모든 수준에서 동일하기 때문입니다).
따라서: 원뿔 부피 = (밑면적)(높이)/3. 반지름 r의 원형 밑면의 경우: 밑면적 = πr². 따라서 V_cone = πr²h/3.
원뿔의 "평균" 반지름 (정점의 0에서 밑면의 r까지 평균)은 r/2입니다. 따라서 반지름이 r/2인 원기둥과 같다고 추측할 수 있으며, 그 부피는 π(r/2)²h = πr²h/4입니다.
그러나 그 계산은 틀렸습니다. 원뿔의 반지름은 전체에 걸쳐 균일하게 r/2가 아니기 때문입니다. 정점에서는 0이고, 정점 근처에서는 약간 0보다 크며, 밑면까지 선형적으로 r까지 증가합니다. 원뿔 부피의 대부분은 하부 부분 (단면이 더 큰 곳)에 있으므로, "유효" 반지름은 평균보다 큽니다.
z²가 상수가 아니라 z²를 적분하는 것이 바로 이것을 포착하는 것입니다. 1/3은 이차 함수의 적분에서 나옵니다. 즉, 이차 증가는 삼차 적분이 되고, ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3은 정점으로부터의 거리 제곱에 비례하여 스케일링되는 모든 형태에 대한 보편적인 답입니다.
2D에서 "원뿔"은 삼각형입니다. 그 면적은 ½(밑변)(높이)입니다. 이것이 1/2 인자입니다. 삼각형은 동일한 밑변과 높이를 가진 직사각형에 대해 원뿔이 원기둥에 대해 그러한 관계입니다.
3D에서, 2D 밑면 위의 원뿔은 부피 (1/3)(밑면적)(높이)를 가집니다. 1/3 인자입니다.
4D에서, 3D 밑면 위의 원뿔은 초부피 (1/4)(밑부피)(높이)를 가집니다. 1/4 인자입니다.
일반적인 패턴: n+1 차원의 원뿔은 부피 (1/(n+1)) × (n차원에서의 밑면 측정치) × 높이를 가집니다. 1/(n+1) 인자는 xⁿ을 적분하는 것에서 나옵니다.
따라서 3D 원뿔의 1/3은 일족의 일부입니다. 일반 공식의 n = 2인 경우일 뿐입니다. 전혀 임의적이지 않습니다.
아이스크림 콘의 밑면 반지름은 2.5 cm이고 높이는 10 cm입니다. 그 부피는 얼마입니까?
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2.5² × 10 = (1/3) × π × 6.25 × 10 = 62.5π/3 ≈ 65.45 cm³.
비교를 위해, 동일한 반지름과 높이를 가진 원기둥의 부피는 πr²h = π × 6.25 × 10 = 62.5π ≈ 196.35 cm³입니다. 원뿔은 정확히 1/3입니다: 196.35 / 3 = 65.45. ✓
흥미롭게도, 원뿔의 표면적은 원기둥의 그것과 깔끔한 1/3 관계를 갖지 않습니다. 원뿔의 측면 표면적은 πrℓ이고, 여기서 ℓ = √(r² + h²)는 사면 높이입니다. 원기둥의 측면 표면은 2πrh입니다. 이것들은 상수 인자에 의해 관련되지 않습니다.
1/3 규칙은 특히 부피, 즉 3D 내용의 측정에 적용됩니다. 표면적은 경계의 2D 측정이며, 다른 기하학적 관계를 따릅니다.
구/원기둥/원뿔 계산기는 세 가지 형태 모두를 처리합니다. 원뿔을 선택하고, 반지름과 높이를 입력하면 부피 + 표면적을 얻을 수 있습니다. 원뿔 공식 페이지는 공식에 대한 전용 참조입니다. r과 h에서 사면 높이 ℓ을 구하는 3D 피타고라스 정리를 보려면 3D 피타고라스 정리 계산기를 참조하세요.
프러스텀 (잘린 원뿔)은 어떻게 되나요? 프러스텀의 부피는 V = (1/3)πh(R² + Rr + r²)이며, 여기서 R과 r은 두 개의 평행한 원형 반지름이고 h는 그 사이의 수직 거리입니다. 참고로: 원뿔 공식으로 환원됩니다.