一个与圆柱体具有相同底面半径和相同高度的圆锥体，其体积恰好是圆柱体的三分之一。这是初等三维几何中最令人惊讶的事实之一——圆锥体从底面平滑地收缩至顶点，因此你可能会猜它体积是圆柱体的一半（“平均”半径是圆柱体半径的一半），但实际上它是三分之一。本指南通过三种不同的方式证明了这个1/3系数：动手课堂演示、微积分推导以及卡瓦列里原理。每种证明都为1/3的正确性提供了不同的直觉。
对于底面半径 r 和高度 h：
圆锥体公式就是圆柱体公式乘以1/3。这个1/3就是大家都想解释的部分。
这是大多数中学老师在课堂上使用的证明方法。它是实证性的，不是符号化的，但它不容置疑。
你会发现：恰好三锥体的量能填满圆柱体。圆柱体的体积是圆锥体的三倍。圆锥体容纳了圆柱体体积的1/3。
无论具体的半径或高度如何，只要圆锥体和圆柱体匹配，这个演示都有效。1/3的比例是普适的。
为了更严谨的证明，考虑一个底面半径为 r、高度为 h 的圆锥体，将其顶点置于原点，并沿 z 轴正方向放置。在距离顶点高度 z 处，该水平截面的圆锥体半径为（由相似三角形得出）：
高度 z 处的半径 = (r / h) × z = rz/h
在高度 z 处的截面是一个半径为 rz/h 的圆，其面积为 π(rz/h)² = πr²z²/h²。
要求体积，需将截面积从 z = 0（顶点）到 z = h（底面）积分：
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
将常数提出：
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
z² 从 0 到 h 的积分是 z³/3 在 h 处的值减去在 0 处的值，即 h³/3 − 0 = h³/3。
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h。
1/3 因子来源于 z² 的积分——也就是说，源于圆锥体的半径随高度线性增长，所以其截面积随高度呈二次增长（∝ z²），而积分 z² 得到 z³/3（1/3 的来源）。
意大利数学家博纳文图拉·卡瓦列里（1598-1647）发现了一个原理，无需积分即可比较体积：如果两个高度相同的立体在每一水平截面上的截面积都相等，那么它们的体积也相等。
从一个边长为 h 的立方体开始。该立方体体积为 h³。现在构造三个相同的金字塔，每个都有一个边长为 h 的正方形底面和高度 h，它们组合起来恰好填满该立方体。（这是经典的“三个金字塔堆叠”演示。）既然三个金字塔恰好填满立方体，那么每个金字塔的体积就是 h³/3。
这就证明了正方形底面金字塔的 1/3 系数。现在运用卡瓦列里原理：任何与这些正方形金字塔具有相同底面积和相同高度的金字塔或圆锥体，其体积相同。因为在每一高度的截面积都匹配（对于具有相同高度和底面积的圆锥体和金字塔，截面积仅依赖于线性缩放因子，而在每一高度该因子都是相同的）。
因此：圆锥体体积 = (底面积)(高度)/3。对于半径为 r 的圆形底面：底面积 = πr²。所以 V_cone = πr²h/3。
圆锥体的“平均”半径（从顶点的0到底面的r取平均）是 r/2。所以你可能会猜圆锥体就像一个半径为 r/2 的圆柱体，体积为 π(r/2)²h = πr²h/4。
但这个计算是错误的，因为圆锥体的半径并非均匀的 r/2——它在顶点处为0，靠近顶点处略高于0，并线性增长到底面处的 r。圆锥体的大部分体积位于下半部分（截面积更大处），因此“有效”半径大于平均值。
积分 z² 而不是 z² 为常数，正是捕捉到了这一点。1/3 来源于对线性函数的平方进行积分——二次增长积分得到三次函数，而 ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3 是任何截面大小随距顶点距离的平方缩放的形状的通用答案。
在二维中，“锥体”是一个三角形。它的面积是 ½(底)(高)——这就是 1/2 因子。三角形之于等底等高的矩形，正如圆锥体之于圆柱体。
在三维中，基于二维底面的锥体，其体积为 (1/3)(底面积)(高度)。这是 1/3 因子。
在四维中，基于三维底面的锥体，其超体积为 (1/4)(底体积)(高度)。这是 1/4 因子。
一般模式：在 n+1 维空间中的锥体，其体积为 (1/(n+1)) × (n 维空间中的底面度量) × 高度。1/(n+1) 因子来源于积分 xⁿ。
所以，三维圆锥体的 1/3 是这一系列公式的一部分：它只是通用公式中 n = 2 的情况。并非随意的。
一个冰淇淋甜筒，底面半径为 2.5 厘米，高度为 10 厘米。它的体积是多少？
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2.5² × 10 = (1/3) × π × 6.25 × 10 = 62.5π/3 ≈ 65.45 cm³。
作为对比，一个具有相同半径和高度的圆柱体体积为 πr²h = π × 6.25 × 10 = 62.5π ≈ 196.35 cm³。圆锥体恰好是其三分之一：196.35 / 3 = 65.45。✓
有趣的是，圆锥体的表面积与圆柱体的表面积并没有一个简洁的 1/3 关系。圆锥体的侧面积是 πrℓ，其中 ℓ = √(r² + h²) 是斜高。圆柱体的侧面积是 2πrh。两者之间没有常数倍数关系。
1/3 规则特别适用于体积——一个衡量三维内容的量。表面积是边界的二维度量，遵循不同的几何关系。
球体/圆柱体/圆锥体计算器 可以处理这三种形状——选择圆锥体，输入半径和高度，即可得到体积和表面积。圆锥体公式 页面是公式的专门参考。关于从 r 和 h 推导出斜高 ℓ 的三维勾股定理，请参见 三维勾股定理计算器。
圆台（截顶圆锥体）怎么办？ 圆台的体积是 V = (1/3)πh(R² + Rr + r²)，其中 R 和 r 是两个平行圆的半径，h 是它们之间的垂直距离。比较：当其中一个半径为零时，它简化为圆锥体公式。