円柱と底面および高さが同じ円錐の体積は、円柱の体積のちょうど三分の一です。これは初等3次元幾何学における最も驚くべき事実の一つです。円錐は底面から頂点に向かって滑らかに細くなっていくため、円柱の体積の半分（「平均」半径が円柱の半径の半分だから）と推測するかもしれませんが、実際には三分の一です。このガイドでは、1/3の係数を3つの異なる方法で証明します。それは、体験的な教室での実演、積分計算による導出、そしてカヴァリエリの原理です。各証明は、なぜ1/3が正しいのかについて異なる直感を与えます。
底面の半径をr、高さをhとすると：
円錐の公式は、円柱の公式に1/3を掛けたものです。その1/3の部分こそが、誰もが説明を求める部分です。
これは、中学や高校初期の教师が最も多く使用する証明方法です。経験的で、記号的なものではありませんが、疑いの余地がありません。
あなたは次のように発見するでしょう：ちょうど3回の円錐分の量が円柱を満たします。円柱の体積は円錐の3倍です。円錐は円柱の1/3の容量を持っています。
この実演は、特定の半径や高さに関係なく機能します — 円錐と円柱が一致している限り。1/3の比率は普遍的です。
より厳密な証明のために、底面の半径r、高さhの円錐を、頂点が原点にあり、z軸に沿って上向きに配置します。頂点からの高さzにおいて、そのレベルでの円錐の半径は（相似な三角形により）：
高さzでの半径 = (r / h) × z = rz/h
高さzでの断面は、半径rz/hの円であり、面積はπ(rz/h)² = πr²z²/h²です。
体積を見つけるために、断面の面積をz = 0（頂点）からz = h（底面）まで積分します：
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
定数を外に出します：
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
z²の0からhまでの積分は、hでのz³/3の評価値から0での値を引いたもの、つまりh³/3 − 0 = h³/3です。
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h。
1/3の係数はz²の積分から生じます — すなわち、円錐の半径が高さに比例して直線的に増加するため、その断面の面積は二次的に増加し（∝ z²）、z²を積分するとz³/3になるという事実からです（これが1/3の源です）。
イタリアの数学者ボナヴェントゥーラ・カヴァリエリ（1598-1647）は、積分を使わずに体積を比較できる原理を発見しました。高さが等しい2つの立体は、すべての水平なレベルでの断面の面積が等しければ、体積も等しいというものです。
一辺がhの立方体から始めましょう。立方体の体積はh³です。次に、正方形の底面の一辺がh、高さがhの同一の3つの角錐を構成し、これらが正確に立方体を満たします。（これは、古典的な「3つの積み重なった角錐」の実演です。）3つの角錐が正確に立方体を満たすため、各角錐の体積はh³/3です。
これは、正方形の底面を持つ角錐についての1/3の係数を証明します。次に、カヴァリエリの原理を援用します。これらの正方形角錐と同じ底面積と同じ高さを持つ任意の角錐または円錐は、同じ体積を持ちます。すべてのレベルでの断面が面積が一致するのは（断面の面積が高さと底面積が同一の円錐や角錐では、すべてのレベルで同じ線形スケーリング係数に依存するためです）。
したがって：円錐の体積 = (底面積)(高さ)/3。半径rの円形底面の場合：底面積 = πr²。よってV_cone = πr²h/3。
円錐の「平均」半径（頂点での0から底面でのrまで平均すると）はr/2です。そのため、円錐は半径r/2の円柱のようなものだと推測し、体積はπ(r/2)²h = πr²h/4になるかもしれません。
しかし、その計算は間違いです。なぜなら、円錐の半径は全体を通して均一にr/2ではないからです — 頂点では0であり、頂点付近ではわずかに0を上回り、底面に向かって直線的にrまで増加します。円錐の体積の大部分は下部（断面が大きい部分）にあるため、「有効」な半径は平均よりも大きくなります。
z²を一定として積分するのではなく、z²を積分するという点が、まさにこれを捉えています。1/3は、二乗された線形関数を積分することから生じます — 二次的な増加は三次的なものに積分され、∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3は、頂点からの距離の二乗として断面がスケーリングするあらゆる形状に対する普遍的な答えです。
2Dでは、「円錐」は三角形です。その面積は½(底辺)(高さ) — これが1/2の係数です。三角形は、同じ底辺と高さの長方形に対して、円錐が円柱に対するのと同じ関係にあります。
3Dでは、2次元の底面を持つ円錐の体積は(1/3)(底面積)(高さ)です。1/3の係数です。
4Dでは、3次元の底面を持つ円錐の超体積は(1/4)(底面体積)(高さ)です。1/4の係数です。
一般的なパターン：n+1次元における円錐の体積は(1/(n+1)) × (n次元での底面の測度) × 高さです。1/(n+1)の係数はxⁿの積分から生じます。
したがって、3D円錐の1/3は系列の一部です：それは単に一般式のn = 2の場合に過ぎません。全く任意ではありません。
アイスクリームコーンの底面の半径は2.5 cm、高さは10 cmです。その体積は何ですか？
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2.5² × 10 = (1/3) × π × 6.25 × 10 = 62.5π/3 ≈ 65.45 cm³。
比較のために、同じ半径と高さを持つ円柱の体積はπr²h = π × 6.25 × 10 = 62.5π ≈ 196.35 cm³です。円錐はちょうど三分の一です：196.35 / 3 = 65.45。 ✓
興味深いことに、円錐の表面積は、円柱の表面積と単純な1/3の関係にはありません。円錐の側面積はπrℓです。ここでℓ = √(r² + h²)は斜高です。円柱の側面積は2πrhです。これらは定数係数によって関連付けられていません。
1/3の規則は、体積 — 3次元の内容の尺度 — に特に適用されます。表面積は境界の2次元の尺度であり、異なる幾何学的関係に従います。
球/円柱/円錐の計算機は、これら3つの形状すべてを扱います — 円錐を選択し、半径と高さを入力すると、体積と表面積が得られます。円錐の公式ページは、これらの公式の専用リファレンスです。rとhから斜高ℓを求める3次元のピタゴラスの定理については、3次元ピタゴラスの定理の計算機を参照してください。
円錐台（上部を切り取った円錐）についてはどうですか？ 円錐台の体積はV = (1/3)πh(R² + Rr + r²)です。ここでRとrは2つの平行な円形の半径、hはそれらの間の垂直距離です。比較のために：それは円錐の