Um cone com a mesma base e a mesma altura de um cilindro tem exatamente um terço do volume do cilindro. Este é um dos fatos mais surpreendentes na geometria elementar 3D — o cone afina suavemente da base ao vértice, então você pode adivinhar que ele tem metade do volume do cilindro (o raio "médio" é metade do raio do cilindro), mas na verdade é um terço. Este guia prova o fator 1/3 de três maneiras diferentes: uma demonstração prática em sala de aula, uma derivação por cálculo integral e o princípio de Cavalieri. Cada prova oferece uma intuição diferente sobre por que 1/3 é o valor correto.
Para um raio da base r e altura h:
A fórmula do cone é a fórmula do cilindro multiplicada por 1/3. Esse 1/3 é a parte que todo mundo quer explicada.
Esta é a prova que a maioria dos professores usa no ensino médio ou no início do ensino médio. É empírica, não simbólica, mas não deixa dúvidas.
Você descobrirá que: exatamente três cones enchem o cilindro. O volume do cilindro é três vezes o do cone. O cone contém 1/3 do volume do cilindro.
Esta demonstração funciona independentemente do raio ou da altura específicos — desde que o cone e o cilindro sejam correspondentes. A proporção de 1/3 é universal.
Para uma prova mais rigorosa, tome um cone com raio da base r e altura h, orientado com o vértice na origem apontando para cima ao longo do eixo z. Na altura z a partir do vértice, o raio do cone nesse nível é (por semelhança de triângulos):
raio na altura z = (r / h) × z = rz/h
A seção transversal na altura z é um círculo de raio rz/h, com área π(rz/h)² = πr²z²/h².
Para encontrar o volume, integre a área da seção transversal de z = 0 (vértice) até z = h (base):
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
Tire as constantes para fora:
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
A integral de z² de 0 a h é z³/3 avaliada em h menos o valor em 0, que é h³/3 − 0 = h³/3.
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h.
O fator 1/3 vem da integral de z² — ou seja, do fato de que o raio do cone cresce linearmente com a altura, então sua ÁREA de seção transversal cresce quadraticamente (∝ z²), e integrar z² resulta em z³/3 (a fonte do 1/3).
O matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647) descobriu um princípio que permite comparar volumes sem integração: dois sólidos de mesma altura têm o mesmo volume se suas seções transversais em cada nível horizontal tiverem a mesma área.
Comece com um cubo de lado h. O cubo tem volume h³. Agora construa três pirâmides idênticas, cada uma com uma base quadrada de lado h e altura h, que juntas preencham exatamente o cubo. (Esta é a clássica demonstração de "três pirâmides empilhadas"). Como as três pirâmides preenchem exatamente o cubo, cada pirâmide tem volume h³/3.
Isso prova o fator 1/3 para pirâmides de base quadrada. Agora invoque Cavalieri: qualquer pirâmide ou cone com a mesma área da base e a mesma altura que uma dessas pirâmides quadradas tem o mesmo volume. A seção transversal em cada nível corresponde em área (porque a área da seção transversal depende apenas do fator de escala linear, que é o mesmo em cada nível para cones e pirâmides com altura e área da base idênticas).
Então: volume do cone = (área da base)(altura)/3. Para uma base circular de raio r: área da base = πr². Então V_cone = πr²h/3.
O raio "médio" do cone (média de 0 no vértice a r na base) é r/2. Então você pode adivinhar que o cone é como um cilindro de raio r/2, dando volume π(r/2)²h = πr²h/4.
Mas esse cálculo está errado porque o raio do cone NÃO é uniformemente r/2 ao longo de toda a sua extensão — é 0 no vértice, ligeiramente acima de 0 perto do vértice, e cresce linearmente até r na base. A maior parte do volume do cone está na porção inferior (onde as seções transversais são maiores), então o raio "efetivo" é maior do que a média.
A integral de z² em vez de z² ser constante é exatamente o que captura isso. O 1/3 vem da integração da função linear ao quadrado — o crescimento quadrático integra para o cúbico, e ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3 é a resposta universal para qualquer forma cuja seção transversal escala como o quadrado da distância a partir do vértice.
Em 2D, um "cone" é um triângulo. Sua área é ½(base)(altura) — esse é o fator 1/2. O triângulo está para o retângulo de mesma base e altura assim como o cone está para o cilindro.
Em 3D, o cone sobre uma base 2D tem volume (1/3)(área da base)(altura). O fator 1/3.
Em 4D, o cone sobre uma base 3D tem hipervolume (1/4)(volume da base)(altura). O fator 1/4.
O padrão geral: um cone em n+1 dimensões tem volume (1/(n+1)) × (medida da base em n dimensões) × altura. O fator 1/(n+1) vem da integração de xⁿ.
Então, o 1/3 para o cone 3D faz parte de uma família: é apenas o caso n = 2 da fórmula geral. Nada arbitrário.
Um cone de sorvete tem um raio da base de 2,5 cm e uma altura de 10 cm. Qual é o seu volume?
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2,5² × 10 = (1/3) × π × 6,25 × 10 = 62,5π/3 ≈ 65,45 cm³.
Para comparação, um cilindro com o mesmo raio e altura tem volume πr²h = π × 6,25 × 10 = 62,5π ≈ 196,35 cm³. O cone é exatamente um terço: 196,35 / 3 = 65,45. ✓
Curiosamente, a área da superfície do cone NÃO possui uma relação limpa de 1/3 com a do cilindro. A área da superfície lateral do cone é πrℓ onde ℓ = √(r² + h²) é a altura inclinada. A superfície lateral do cilindro é 2πrh. Elas não são relacionadas por um fator constante.
A regra do 1/3 se aplica especificamente ao volume — uma medida de conteúdo 3D. A área da superfície é uma medida 2D do limite, e segue relacionamentos geométricos diferentes.
A Calculadora de Esfera/Cilindro/Cone lida com as três formas — selecione cone, insira raio e altura, e obtenha o volume + área da superfície. A página da Fórmula do Cone é uma referência dedicada para as fórmulas. Para o teorema de Pitágoras 3D que fornece a altura inclinada ℓ a partir de r e h, consulte a Calculadora do Teorema de Pitágoras 3D.
E quanto a um tronco de cone (cone com o topo cortado)? O volume de um tronco é V = (1/3)πh(R² + Rr + r²), onde R e r são os dois raios circulares paralelos e h é a distância perpendicular entre eles. Comparação: ele se reduz à fórmula do cone quando r = 0.