Un cône ayant la même base et la même hauteur qu'un cylindre possède exactement un tiers du volume du cylindre. C'est l'un des faits les plus surprenants de la géométrie dans l'espace élémentaire — le cône s'affine régulièrement de la base vers le sommet, si bien que l'on pourrait deviner qu'il a la moitié du volume du cylindre (le rayon « moyen » étant la moitié du rayon du cylindre), mais il est en réalité d'un tiers. Ce guide prouve le facteur 1/3 de trois manières différentes : une démonstration pratique en classe, une dérivation par calcul intégral et le principe de Cavalieri. Chaque preuve donne une intuition différente de pourquoi 1/3 est correct.
Pour un rayon de base r et une hauteur h :
La formule du cône est la formule du cylindre multipliée par 1/3. Ce 1/3 est la partie que tout le monde veut expliquer.
C'est la preuve que la plupart des enseignants utilisent au collège ou au lycée. Elle est empirique, non symbolique, mais elle ne laisse aucun doute.
Vous constaterez : exactement trois récipients-pleins de cône remplissent le cylindre. Le volume du cylindre est trois fois celui du cône. Le cône contient 1/3 du volume du cylindre.
Cette démonstration fonctionne quel que soit le rayon ou la hauteur spécifique — tant que le cône et le cylindre correspondent. Le rapport 1/3 est universel.
Pour une preuve plus rigoureuse, prenons un cône de rayon de base r et de hauteur h, orienté avec le sommet à l'origine pointant vers le haut selon l'axe z. À une hauteur z depuis le sommet, le rayon du cône à ce niveau est (par triangles semblables) :
rayon à la hauteur z = (r / h) × z = rz/h
La section transversale à la hauteur z est un cercle de rayon rz/h, d'aire π(rz/h)² = πr²z²/h².
Pour trouver le volume, intégrons l'aire de la section transversale de z = 0 (sommet) à z = h (base) :
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
Sortons les constantes :
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
L'intégrale de z² de 0 à h est z³/3 évalué en h moins la valeur en 0, soit h³/3 − 0 = h³/3.
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h.
Le facteur 1/3 vient de l'intégrale de z² — c'est-à-dire du fait que le rayon du cône croît linéairement avec la hauteur, de sorte que son aire de section transversale croît quadratiquement (∝ z²), et intégrer z² donne z³/3 (la source du 1/3).
Le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri (1598-1647) a découvert un principe qui permet de comparer des volumes sans intégration : deux solides de même hauteur ont le même volume si leurs sections transversales à chaque niveau horizontal ont la même aire.
Commençons par un cube de côté h. Le cube a un volume h³. Construisons maintenant trois pyramides identiques, chacune avec une base carrée de côté h et une hauteur h, qui ensemble remplissent exactement le cube. (C'est la démonstration classique des « trois pyramides empilées ».) Puisque les trois pyramides remplissent exactement le cube, chaque pyramide a un volume h³/3.
Cela prouve le facteur 1/3 pour les pyramides à base carrée. Invoquons maintenant Cavalieri : toute pyramide ou tout cône ayant la même aire de base et la même hauteur que l'une de ces pyramides carrées a le même volume. La section transversale à chaque niveau correspond en aire (parce que l'aire de la section transversale ne dépend que du facteur d'échelle linéaire, qui est le même à chaque niveau pour les cônes et les pyramides de même hauteur et même aire de base).
Donc : volume du cône = (aire de la base)(hauteur)/3. Pour une base circulaire de rayon r : aire de la base = πr². Donc V_cone = πr²h/3.
Le rayon « moyen » du cône (moyenné de 0 au sommet à r à la base) est r/2. On pourrait donc supposer que le cône est comme un cylindre de rayon r/2, donnant un volume π(r/2)²h = πr²h/4.
Mais ce calcul est faux parce que le rayon du cône n'est PAS uniformément r/2 sur toute sa hauteur — il est 0 au sommet, légèrement supérieur à 0 près du sommet, et croît linéairement jusqu'à r à la base. La majeure partie du volume du cône se trouve dans la partie inférieure (où les sections transversales sont plus grandes), de sorte que le rayon « effectif » est supérieur à la moyenne.
L'intégrale de z² plutôt que de z² constant capture exactement cela. Le 1/3 vient de l'intégrale de la fonction linéaire au carré — la croissance quadratique s'intègre en cube, et ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3 est la réponse universelle pour toute forme dont la section transversale varie comme le carré de la distance au sommet.
En 2D, un « cône » est un triangle. Son aire est ½(base)(hauteur) — c'est le facteur 1/2. Le triangle est au rectangle de même base et même hauteur ce que le cône est au cylindre.
En 3D, le cône sur une base 2D a un volume (1/3)(aire de la base)(hauteur). Le facteur 1/3.
En 4D, le cône sur une base 3D a un hypervolume (1/4)(volume de la base)(hauteur). Le facteur 1/4.
Le motif général : un cône en n+1 dimensions a un volume (1/(n+1)) × (mesure de la base en n dimensions) × hauteur. Le facteur 1/(n+1) vient de l'intégration de xⁿ.
Donc le 1/3 pour le cône 3D fait partie d'une famille : c'est simplement le cas n = 2 de la formule générale. Pas du tout arbitraire.
Un cornet de glace a un rayon de base de 2,5 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2,5² × 10 = (1/3) × π × 6,25 × 10 = 62,5π/3 ≈ 65,45 cm³.
À titre de comparaison, un cylindre avec le même rayon et la même hauteur a un volume πr²h = π × 6,25 × 10 = 62,5π ≈ 196,35 cm³. Le cône fait exactement un tiers : 196,35 / 3 = 65,45. ✓
Fait intéressant, l'aire de surface du cône n'a PAS de relation simple de 1/3 avec celle du cylindre. L'aire latérale du cône est πrℓ où ℓ = √(r² + h²) est la hauteur oblique (apothème). La surface latérale du cylindre est 2πrh. Elles ne sont pas liées par un facteur constant.
La règle du 1/3 s'applique spécifiquement au volume — une mesure du contenu 3D. L'aire de surface est une mesure 2D de la frontière, et elle suit des relations géométriques différentes.
Le Calculatrice Sphère/Cylindre/Cône gère les trois formes — sélectionnez cône, entrez le rayon et la hauteur, et obtenez le volume + l'aire de surface. La page Formule du cône est une référence dédiée aux formules. Pour le théorème de Pythagore 3D qui donne la hauteur oblique ℓ à partir de r et h, voir la Calculatrice du Théorème de Pythagore 3D.
Qu'en est-il d'un tronc de cône (cône dont le sommet est coupé) ? Le volume d'un tronc de cône est V = (1/3)πh(R² + Rr + r²), où R et r sont les deux rayons circulaires parallèles et h est la distance perpendiculaire entre eux. À comparer : cela se réduit à la formule du cône lorsque l'un des rayons est nul.