Der schnellste Weg, gut in Geometrie zu werden, ist, eine kleine Menge an Mustern zu merken, die immer wieder auftauchen. Hier sind 10 mentale Abkürzungen, die jeder Schüler parat haben sollte. Jede spart 30 Sekunden bis zu mehreren Minuten pro Aufgabe.
Wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei von (3, 4, 5) sehen, ist das Dritte das fehlende. Dasselbe für (5, 12, 13). Und (8, 15, 17), (7, 24, 25). Das Erkennen dieser spart Ihnen, jedes Mal a² + b² = c² auszurechnen.
Tipp: Jedes Vielfache funktioniert auch. (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26) sind skalierte Tripel.
Wenn Sie je ein 30-60-90-Dreieck sehen, sind die Seiten immer im Verhältnis 1 : √3 : 2 (kurzer Schenkel : langer Schenkel : Hypotenuse). Merken Sie sich das einmal, rechnen Sie nie wieder Trig für diese.
Beispiel: Hypotenuse = 10. Kurzer Schenkel = 5. Langer Schenkel = 5√3 ≈ 8.66.
Ein isosceles rechtwinkliges Dreieck. Schenkel sind gleich; Hypotenuse = Schenkel × √2.
Beispiel: Schenkel = 7. Hypotenuse = 7√2 ≈ 9.90.
In Kombination mit #2 decken diese zwei "spezielle rechtwinkligen Dreiecke" die meisten Prüfungsaufgaben ab, die exakte nicht-dezimalen Antworten erfordern.
Direkte Anwendung von #3. Ein Quadrat mit Seite 5 hat Diagonale 5√2 ≈ 7.07.
Für einen Würfel ist die RAUMdiagonale (von Ecke zu gegenüberliegender Ecke durch den Körper) Seite × √3.
Wenn zwei parallele Linien von einer Transversale gekreuzt werden:
Das bedeutet, in jeder Parallel-Linien-Konfiguration müssen Sie nur EINEN Winkel kennen, um alle 8 zu wissen. Verwenden Sie das in Beweisen, um ASA oder AA-Ähnlichkeit anzuwenden – siehe unseren Rechner für Parallele Linien und Transversalen.
Für jedes Dreieck: Jede Seite muss KLEINER sein als die Summe der anderen beiden. Also können Seiten 3, 4, 8 kein Dreieck bilden (3 + 4 = 7 < 8).
Verwenden Sie das, um unmöglich aussehende Dreiecksaufgaben schnell abzulehnen, bevor Sie versuchen, sie zu lösen.
Wenn zwei ähnliche Formen ein lineares Verhältnis von k haben, sind ihre Flächen im Verhältnis k². Wenn Sie eine Form verdoppeln (k=2), vervierfacht sich ihre Fläche (4×). Verdreifachen Sie sie (k=3), ist die Fläche 9×.
Für 3D-Körper folgen Volumenverhältnisse k³. Das Verdoppeln aller Dimensionen eines Würfels erhöht das Volumen 8×.
Sogar für nicht-rechtwinklige Dreiecke. Wählen Sie jede Seite als Basis, senken Sie eine Senkrechte von der gegenüberliegenden Ecke auf diese Seite, messen Sie die Länge der Senkrechten, stecken Sie ein. Funktioniert auch für stumpfe Dreiecke (wo Sie die Basis möglicherweise extern verlängern müssen, um die Senkrechte zu senken).
Für den Fall, dass Sie die Höhe nicht haben, aber alle 3 Seiten, verwenden Sie Herons Formel: A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) wobei s = (a+b+c)/2. (Siehe unseren Herons-Formel-Rechner.)
Ein Winkel, der in einem Kreis eingeschrieben ist (Scheitel auf dem Kreis, Seiten als Se-chorde), entspricht genau der HÄLFTE des Zentralwinkels, der denselben Bogen unterlegt.
Spezialfall: Jeder Winkel, der in einem Halbkreis eingeschrieben ist, beträgt genau 90°. Das ist Thales' Satz – unglaublich nützlich, um rechte Winkel in Kreisaufgaben zu beweisen.
Für jedes n-ecks: Dreieck (n=3) hat 180° insgesamt, Viereck (n=4) hat 360°, Fünfeck (n=5) hat 540°, Sechseck (n=6) hat 720°.
Für REGELMÄßIGE Polygone teilen Sie durch n, um jeden Innenwinkel zu erhalten: Regel-mäßiges Sechseck = 720°/6 = 120° pro Winkel.
Bonus: SUMME der AUSSENWINKEL ist immer 360° unabhängig von n. Jeder Außenwinkel eines regulären n-ecks = 360°/n.
| π (pi) | ≈ 3.14159 | Kreis: C/d |
| √2 | ≈ 1.414 | Diagonale des Einheitsquadrats |
| √3 | ≈ 1.732 | Langer Schenkel von 30-60-90 |
| √5 | ≈ 2.236 | <td style="padding:5px 10px;border:1px sol