Die Berechnung der Fläche eines Polygons hängt davon ab, um welches Polygon es sich handelt. Es gibt drei zuverlässige Methoden, die jeden Fall abdecken: Standardformeln für regelmäßige Polygone, Zerlegung für zusammengesetzte Formen und die Schuhbandformel für jedes unregelmäßige Polygon, das durch Vertex-Koordinaten definiert ist.
Ein regelmäßiges Polygon hat alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich. Verwenden Sie diese direkten Formeln (s = Seitenlänge, n = Anzahl der Seiten, a = Apothem = senkrechter Abstand vom Zentrum zur Seite):
| Form | Flächenformel |
|---|---|
| Gleichseitiges Dreieck (n=3) | A = (√3 / 4) × s² |
| Quadrat (n=4) | A = s² |
| Regelmäßiges Fünfeck (n=5) | A ≈ 1.7205 × s² |
| Regelmäßiges Sechseck (n=6) | A = (3√3 / 2) × s² ≈ 2.598 × s² |
| Beliebiges regelmäßiges n-Eck | A = ½ × n × s × a |
| Beliebiges regelmäßiges n-Eck (Apothem unbekannt) | A = (1/4) × n × s² × cot(π/n) |
Beispiel. Regelmäßiges Sechseck mit Seite 4 cm.
A = (3√3 / 2) × 16 = 24√3 ≈ 41,57 cm².
Für Polygone, die aus erkennbaren Unterformen bestehen (L-Form, T-Form, ein Pfeil, ein Stern), zerlegen Sie die Figur in nicht überlappende Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze. Berechnen Sie jede Unterfläche und summieren Sie sie. Für "Negativen Raum" (ein Loch oder Ausschnitt) subtrahieren Sie diese Fläche von der umgebenden Figur.
Beispiel. Ein L-förmiger Büro-Boden: 12 m × 4 m Hauptbereich mit einer 5 m × 3 m Erweiterung.
Haupt = 48, Erweiterung = 15, Gesamt = 63 m².
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Die mächtigste Methode: Funktioniert für JEDES Polygon, das durch die (x, y)-Koordinaten seiner Vertices definiert ist. Sogar für nicht-konvexe Formen.
Die Formel:
A = ½ |Σᵢ (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ)|
Listen Sie die Vertices in Reihenfolge auf (im Uhrzeigersinn ODER gegen den Uhrzeigersinn — der Absolutwert handhabt beide Richtungen). Für jedes benachbarte Paar multiplizieren Sie diagonal, wechseln Sie die Vorzeichen. Der Name "Schuhband" kommt vom gekreuzten visuellen Muster.
Schritt-für-Schritt-Beispiel. Viereck mit Vertices (0, 0), (4, 0), (5, 3), (1, 4).
| Vertex | x | y | xᵢ·yᵢ₊₁ | xᵢ₊₁·yᵢ |
|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 0×0 = 0 | 4×0 = 0 |
| B | 4 | 0 | 4×3 = 12 | <td s