등비수열 계산기

등비수열은 이전 항에 고정된 0이 아닌 수인 공비(r)를 곱하여 각 항을 얻는 수열입니다. 예: 2, 6, 18, 54, ...의 공비는 3입니다. 등비수열은 대수학의 두 가지 기초 수열 유형 중 하나이며(다른 하나는 덧셈 대신 곱셈을 사용하는 등차수열) 본 튜토리얼에서는 n번째 항 공식, 부분합, 무한급수 합, 그리고 이러한 수열을 식별하고 다루는 방법을 다룹니다.

n번째 항 공식

등비수열의 첫 항이 a이고 공비가 r일 때, n번째 항은 다음과 같습니다:

aₙ = a × rⁿ⁻¹

지수가 n이 아닌 n − 1인 이유: 관례적으로 첫 항의 인덱스는 0이 아닌 n = 1입니다. 따라서 a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a입니다. a₂ = a × r¹ = a × r, a₃ = a × r²입니다. 지수는 항상 항 번호보다 1 작습니다.

예: 2, 6, 18, 54, ...에서 a = 2, r = 3입니다. 7번째 항은 a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458입니다.

등비수열 식별하기

숫자 목록이 주어졌을 때, 연속된 두 항의 쌍을 나눕니다. 모든 몫이 동일하면 그 수열은 등비수열이며, 해당 몫이 공비 r입니다.

• 2, 6, 18, 54, ...: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ✓ 공비 r = 3인 등비수열.
• 1, 4, 9, 16, ...: 4/1 = 4, 9/4 = 2.25 ✗ 등비수열이 아님. (이는 완전제곱수 수열로, 차이에 대해서는 등차이지만 비율에 대해서는 등차가 아님.)
• 100, 50, 25, 12.5, ...: 50/100 = 0.5, 25/50 = 0.5, 12.5/25 = 0.5 ✓ 공비 r = 0.5인 등비수열.

첫 n개의 항의 합 (부분합)

등비수열의 첫 n개 항을 더하는 것은 닫힌 형식의 공식을 가지므로, 항별로 더할 필요가 없습니다:

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), 단 r ≠ 1일 때 성립합니다.

r = 1인 경우, 모든 항은 a와 같으므로 Sₙ = n × a입니다 (공식 필요 없음).

공식의 유도 과정: 합을 S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹로 씁니다. 양변에 r을 곱하면 rS = ar + ar² + ... + arⁿ입니다. 빼면 S − rS = a − arⁿ이므로 S(1 − r) = a(1 − rⁿ)가 되어 S = a(1 − rⁿ)/(1 − r)를 얻습니다.

예: 5, 10, 20, 40, ...의 첫 6개 항의 합: a = 5, r = 2, n = 6. S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315.

무한합 — 급수가 수렴할 때

|r| < 1 (공비의 절댓값이 1보다 엄격하게 작음)이면 항들은 0으로 수렴하며 무한합은 수렴합니다:

S∞ = a / (1 − r)

|r| ≥ 1이면 항들이 수렴하지 않으며 합은 발산합니다 (무한히 커지거나 진동하며 안정되지 않음).

예: 무한합 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ...에서 a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓. S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2. 이는 제논이 그의 '아킬레우스와 거북이' 역설에서 사용한 등비급수로, 각 단계가 남은 거리의 절반을 커버하므로 무한한 반절 단계들의 합은 유한한 거리에 도달합니다.

다른 예: 1 + 2 + 4 + 8 + ...에서 r = 2, |r| = 2 > 1입니다. 합은 무한대로 발산하므로 유한한 값이 없습니다.

음수 공비 인식 및 처리

r이 음수이면 항들의 부호가 교대로 바뀝니다: a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

예: 3, −6, 12, −24, 48, ...에서 a = 3, r = −2입니다.

n번째 항 공식과 합 공식 모두 음수 r에 대해 그대로 적용됩니다. 무한합은 음수 r에 대해서도 |r| < 1일 때 수렴합니다. 예: 1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3.

등비평균 — 곱셈적 중간값

두 양수 a와 b의 등비평균은 다음과 같습니다:

GM = √(a × b)

이는 첫 항이 a이고 마지막 항이 b인 3항 등비수열의 가운데 항입니다. 예를 들어, 4와 9의 등비평균은 √36 = 6이며, 수열 4, 6, 9는 전체적으로 공비 1.5를 가집니다 (6/4 = 9/6 = 1.5).

비율, 수익률, 성장 계수 및 기타 곱셈적 양상을 평균낼 때는 산술평균보다 등비평균이 선호됩니다. '2배'와 '3배'의 산술평균은 2.5배가 되지만, 등비평균 √(2 × 3) ≈ 2.45배가 올바르게 복리 계산되는 값입니다.

풀이 예제 (전체)

예제 1 — 8번째 항 구하기: 수열 3, 6, 12, 24, ...에서 a = 3, r = 2입니다. a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.

예제 2 — 두 항을 주어 r 구하기: a₁ = 2이고 a₅ = 162입니다. 공식 a₅ = a₁ × r⁴를 사용하면, r⁴ = 162/2 = 81입니다. 따라서 r = ⁴√81 = 3입니다 (양수 근을 취함; 기술적으로는 항들의 부호가 교대한다면 r이 −3일 수도 있지만, 절댓값은 유일하게 결정됨).

예제 3 — 발산하는 합: 급수 100 + 200 + 400 + ... + (n번째 항)에서 a = 100, r = 2입니다. 무한합은 |r| = 2 > 1이므로 발산합니다. 임의의 유한한 n에 대해서는 Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1)를 사용합니다.

실생활 응용

• 복리. n번의 복리 계산 후 잔액은 B = P × (1 + i)ⁿ입니다. 이는 a = P, r = (1 + i)인 등비수열입니다. 무한 기간의 합은 발산하므로(돈이 영원히 증가), 여기서는 부분합만 의미가 있습니다.
• 인구 성장. P(t) = P₀ × eʳᵗ와 같은 지수 성장 모델은 t가 이산적인 단계로 측정될 때 등비수열이 됩니다.
• 방사성 붕괴. 반감기 붕괴는 r = 1/2인 등비수열입니다.
• 컴퓨터 과학. 배열 크기 두 배 늘리기, 이진 트리의 높이, 네트워크 프로토콜의 기하학적 백오프 등은 모두 등비수열입니다.
• 음악. 온화율 스케일의 음악 음들의 주파수는 반음당 r = ¹²√2 ≈ 1.0595인 등비수열을 형성합니다.

흔한 실수

• 지수에서 n − 1 대신 n 사용. 첫 항은 a × r¹이 아니라 a × r⁰ = a입니다. 지수는 항상 항 인덱스보다 1 작습니다.
• |r| ≥ 1일 때 무한합 공식 적용. 급수는 발산합니다. 유한한 '무한합'은 존재하지 않으며, 부분합은 무한히 증가합니다.
• 등비수열과 등차수열 혼동. 등차수열은 각 단계마다 고정된 수를 더하고, 등비수열은 고정된 수를 곱합니다. 이들은 서로 다른 수열 유형이며 서로 다른 공식을 가집니다.
• 음수의 등비평균 계산. GM = √(a × b)는 a와 b가 모두 음이 아닐 때(또는 둘 다 음수일 때 — 그들의 곱의 주근을 취할 때)에만 의미가 있습니다. 등비평균에 대해 음수 결과는 정의되지 않습니다.
• 부분합 공식과 무한합 공식 혼동. 유한한 n에 대해서는 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)입니다. 수렴하는 무한 경우에 대해서는 S∞ = a/(1 − r)입니다. 이 둘은 서로 바꿔서 사용할 수 없습니다.