Geometrische-Transformations-Rechner

Der Geometrische Transformationsrechner wendet die vier grundlegenden Transformationen der ebenen Geometrie an — Translation, Spiegelung, Rotation und Streckung — auf einen Punkt (x, y) und gibt den Bildpunkt zurück. Dieses Tutorial erklärt, was jede Transformation mit dem Punkt macht, was sie mit einer ganzen Form bewirkt und welche Transformationen welche Eigenschaften erhalten (Länge, Winkel, Orientierung).

Die vier Transformationen im Überblick

Transformationen, die Länge und Winkel erhalten, werden Isometrien (auch starre Transformationen genannt) genannt — sie verschieben eine Form, ohne sie zu verzerren. Translation, Spiegelung und Rotation sind Isometrien. Streckung ist keine Isometrie — sie vergrößert oder verkleinert die Form. Streckung erhält jedoch Winkel, sodass sie eine ähnliche Figur erzeugt (gleiche Form, andere Größe).

Translation — Verschiebung ohne Änderung

Bei einer Translation wird jeder Punkt der Figur um einen festen Betrag h horizontal und k vertikal verschoben. Die Regel:

(x, y) → (x + h, y + k)

Beispiele:

• Übersetze (3, 5) um (h, k) = (2, −1): Neuer Punkt ist (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4).
• Übersetze (−2, 0) um (4, 7): Neuer Punkt ist (2, 7).

Translation ist die einfachste Transformation: Jeder Punkt bewegt sich auf dieselbe Weise. Formen behalten ihre Größe, Orientierung und Proportionen — sie erscheinen nur an einer neuen Position auf der Koordinatenebene. Wenn Sie ein Dreieck übersetzen, ist das neue Dreieck kongruent (identisch) zum Original.

Spiegelung — Spiegeln

Eine Spiegelung dreht die Figur an einer Linie, der sogenannten Spiegelachse, um. Die häufigsten Achsen sind die x-Achse, die y-Achse sowie die Linien y = x und y = −x.

• Spiegelung an der x-Achse: (x, y) → (x, −y). Das y-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
• Spiegelung an der y-Achse: (x, y) → (−x, y). Das x-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
• Spiegelung an y = x: (x, y) → (y, x). Tauschen Sie die Koordinaten.
• Spiegelung an y = −x: (x, y) → (−y, −x). Tauschen und negieren Sie beide.

Spiegelung erhält Abstände und Winkel, kehrt aber die Orientierung um — wenn die ursprüngliche Figur eine Uhrzeigerrichtung hat, hat die gespiegelte Figur eine Gegenuhrzeigerrichtung (oder umgekehrt). In der Koordinatengeometrie ist dies relevant: Ein rechtshändiges Koordinatensystem wird bei Spiegelung linkshändig.

Beispiele:

• Spiegle (3, 5) an der x-Achse: (3, −5).
• Spiegle (3, 5) an der y-Achse: (−3, 5).
• Spiegle (3, 5) an y = x: (5, 3).

Rotation — Drehung um einen Punkt

Eine Rotation dreht die Figur um einen festen Punkt (den Drehmittelpunkt) um einen gegebenen Winkel. Die häufigsten Rotationen erfolgen um den Ursprung (0, 0) um 90°, 180° und 270°:

• Rotation 90° ggS (gegen den Uhrzeigersinn): (x, y) → (−y, x).
• Rotation 180°: (x, y) → (−x, −y).
• Rotation 270° ggS (= 90° uZS): (x, y) → (y, −x).

Für eine allgemeine Rotation um den Winkel θ um den Ursprung verwendet die Formel die Trigonometrie: (x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). Die drei „guten“ Fälle oben ergeben sich durch Einsetzen von θ = 90°, 180°, 270° (wobei cos und sin 0 und ±1 sind).

Rotation erhält Abstände, Winkel und Orientierung — sie ist die einzige nicht-triviale Isometrie, die dies tut. Zwei durch Rotation verbundene Figuren sind direkt kongruent (gleiche Form, gleiche Größe, gleiche Händigkeit, nur gedreht).

Beispiele:

• Drehe (3, 5) um 90° ggS: (−5, 3).
• Drehe (3, 5) um 180°: (−3, −5).
• Drehe (3, 5) um 270° ggS: (5, −3).

Streckung — Skalierung

Eine Streckung skaliert die Figur um einen konstanten Faktor k bezüglich eines Zentrums (meist des Ursprungs). Die Regel für die Streckung um den Ursprung:

(x, y) → (kx, ky)

Wobei:

• k > 1: Vergrößerung (Figur wird größer)
• 0 < k < 1: Verkleinerung (Figur wird kleiner)
• k < 0: Kombinierte Streckung + 180°-Rotation
• k = 1: Identität (keine Änderung)
• k = −1: Gleichbedeutend mit einer 180°-Rotation

Streckung erhält Winkel (ähnliche Figuren haben kongruente Winkel), aber sie erhält nicht Abstände. Wenn Sie mit k = 2 strecken, verdoppelt sich jede Länge, jede Fläche vervierfacht sich (k²), und bei einer 3D-Streckung würde jedes Volumen achtmal so groß sein (k³).

Beispiele:

• Strecke (3, 5) mit k = 2: (6, 10).
• Strecke (3, 5) mit k = 0.5: (1.5, 2.5).
• Strecke (3, 5) mit k = −1: (−3, −5). Gleichbedeutend mit Rotation 180°.

Komposition von Transformationen

Man kann Transformationen nacheinander anwenden. Die Reihenfolge ist meist entscheidend:

• Übersetzen dann drehen ist anders als drehen dann übersetzen (da die Rotation um den Ursprung den Ursprung als festen Punkt nutzt — das vorherige Übersetzen bewegt Ihre Figur zuerst vom Ursprung weg).
• Spiegeln dann spiegeln an zwei parallelen Linien = eine Translation senkrecht zu diesen Linien um das Doppelte des Abstands zwischen ihnen.
• Spiegeln dann spiegeln an zwei sich schneidenden Linien = eine Rotation um ihren Schnittpunkt um das Doppelte des Winkels zwischen ihnen.

Ein Gleitreflexion ist eine Spiegelung gefolgt von einer Translation parallel zur Spiegelachse — sie erzeugt ein Muster wie Fußabdrücke im Sand.

Anwendungen in der Praxis

• Computergrafik — jedes 2D-/3D-Spiel und jedes CAD-Tool verwendet Transformationsmatrizen, um Modelle auf dem Bildschirm zu übersetzen, zu drehen und zu skalieren.
• Physik — Änderungen des Bezugssystems sind Koordinatentransformationen (galileisch für die klassische Physik, lorentzsche für die Relativitätstheorie).
• Musterdesign — Tapetenmuster, Kachelungen und Textilgestaltung basieren auf systematischen Kombinationen dieser vier Transformationen (die 17 Wandgruppen klassifizieren alle möglichen sich wiederholenden 2D-Muster).
• Symmetrie — Eine Figur besitzt eine Symmetrie, wenn eine nicht-identische Transformation sie auf sich selbst abbildet. Ein Quadrat hat 8 Symmetrien (4 Rotationen + 4 Spiegelungen).

Häufige Fehler

• Verwechslung von ggS und uZS bei Rotationen. In der Mathematik werden Rotationswinkel konventionell gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Eine „Rotation um 90°“ bedeutet 90° ggS, es sei denn, etwas anderes ist angegeben.
• Verwechslung der Spiegelung an y = x mit der Spiegelung an der x-Achse. Die erste tauscht die Koordinaten: (x,y) → (y,x). Die zweite kehrt das Vorzeichen der y-Koordinate um: (x,y) → (x,−y). Diese ergeben sehr unterschiedliche Bilder.
• Vergessen, dass die Streckung die Fläche mit k² skaliert, nicht mit k. Das Verdoppeln aller Längen vervierfacht die Fläche. Viele Schätzfehler in der Praxis resultieren daraus.
• Annahme, dass alle Transformationen die Orientierung erhalten. Spiegelungen kehren die Orientierung um; die anderen erhalten sie.