幾何学変換計算機

幾何変換計算機は、平面幾何学の4つの基本的な変換 — 平行移動、対称移動（鏡像変換）、回転、拡大縮小 — を点 (x, y) に適用し、その像の点を返します。このチュートリアルでは、各変換が点に与える影響、図形全体に与える影響、そしてどの変換がどの性質（長さ、角度、向き）を保存するかを解説します。

4つの変換の概要

長さと角度を保存する変換は等長変換（アイソメトリー）（剛体変換とも呼ばれる）と呼ばれ、図形を変形させることなく移動させます。平行移動、対称移動、回転は等長変換です。拡大縮小は等長変換ではありません — 図形を大きくしたり小さくしたりします。拡大縮小は角度を保存するため、相似な図形（同じ形状、異なる大きさ）を生み出します。

平行移動 — 変化せずに滑らかに動かす

平行移動は、図形のすべての点を水平方向に h、垂直方向に k だけ固定量だけずらします。規則は以下の通りです：

(x, y) → (x + h, y + k)

例：

• (3, 5) を (h, k) = (2, −1) で平行移動：新しい点は (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4)。
• (−2, 0) を (4, 7) で平行移動：新しい点は (2, 7)。

平行移動は最も単純な変換です：すべての点が同じように動きます。図形の大きさ、向き、比率は保たれ、座標平面上の新しい位置に表示されるだけです。三角形を平行移動すると、新しい三角形は元の三角形と合同（同一）になります。

対称移動 — 鏡像反転

対称移動は、図形を対称軸と呼ばれる直線に対して反転させます。最も一般的な対称軸は x軸、y軸、および直線 y = x と y = −x です。

• x軸に関する対称移動： (x, y) → (x, −y)。y座標の符号が反転します。
• y軸に関する対称移動： (x, y) → (−x, y)。x座標の符号が反転します。
• 直線 y = x に関する対称移動： (x, y) → (y, x)。座標を入れ替えます。
• 直線 y = −x に関する対称移動： (x, y) → (−y, −x)。座標を入れ替え、両方の符号を反転させます。

対称移動は距離と角度を保存しますが、向きを反転させます — 元の図形が時計回りの順序を持っていた場合、対称移動された図形は反時計回り（またはその逆）になります。座標幾何学においてこれは重要です：右手系の座標系を対称移動すると左手系になります。

例：

• (3, 5) を x軸について対称移動：(3, −5)。
• (3, 5) を y軸について対称移動：(−3, 5)。
• (3, 5) を直線 y = x について対称移動：(5, 3)。

回転 — 点を中心に回す

回転は、図形を固定点（回転の中心）を中心に指定された角度だけ回転させます。最も一般的な回転は、原点 (0, 0) を中心とした 90°、180°、270° の回転です：

• 90° 反時計回り回転： (x, y) → (−y, x)。
• 180° 回転： (x, y) → (−x, −y)。
• 270° 反時計回り回転（= 90° 時計回り）： (x, y) → (y, −x)。

原点を中心とした角度 θ による一般の回転の場合、公式は三角関数を使用します：(x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ)。上記の3つの「扱いやすい」ケースは、θ = 90°、180°、270° を代入することから得られます（このとき cos と sin は 0 および ±1 です）。

回転は距離、角度、かつ向きを保存します — これは自明でない等長変換の中で唯一そのような性質を持つものです。回転によって関連付けられた2つの図形は直接合同です（同じ形状、同じ大きさ、同じ手性、単に回転しているだけ）。

例：

• (3, 5) を 90° 反時計回りに回転：(−5, 3)。
• (3, 5) を 180° 回転：(−3, −5)。
• (3, 5) を 270° 反時計回りに回転：(5, −3)。

拡大縮小 — スケール変更

拡大縮小は、図形を中心（通常は原点）を中心に一定の倍率 k で拡大または縮小します。原点を中心とする拡大縮小の規則は以下の通りです：

(x, y) → (kx, ky)

ここで：

• k > 1：拡大（図形が大きくなる）
• 0 < k < 1：縮小（図形が小さくなる）
• k < 0：拡大縮小と 180° 回転の組み合わせ
• k = 1：恒等変換（変化なし）
• k = −1：180° 回転と同じ

拡大縮小は角度を保存しますが（相似な図形は合同な角を持ちます）、距離は保存しません。k = 2 で拡大縮小すると、すべての長さが2倍になり、すべての面積は4倍（k²）になり、もしそれが3次元の拡大縮小であれば、すべての体積は8倍（k³）になります。

例：

• (3, 5) を k = 2 で拡大縮小：(6, 10)。
• (3, 5) を k = 0.5 で拡大縮小：(1.5, 2.5)。
• (3, 5) を k = −1 で拡大縮小：(−3, −5)。180° 回転と同じ。

変換の合成

変換を続けて適用することができます。通常、順序は重要です：

• 平行移動してから回転することは、回転してから平行移動することとは異なります（原点周りの回転は原点を固定点として使用するため — 最初に平行移動すると、図形が原点から遠ざかるため）。
• 2本の平行線について対称移動を2回行うこと = それらの線に垂直な方向へ、それらの間の距離の2倍だけ平行移動すること。
• 2本の交差する直線について対称移動を2回行うこと = それらの交点を中心とし、それらの間の角度の2倍だけ回転すること。
• 滑り対称移動は、対称移動に続いて対称軸に平行な平行移動を行うもので — 砂上の足跡のパターンを生み出します。

現実世界での応用

• コンピュータグラフィックス — すべての2D/3DゲームやCADツールは、画面内のモデルを平行移動、回転、拡大縮小するために変換行列を使用します。
• 物理学 — 参照系の変化は座標変換です（古典力学ではガリレオ変換、相対論ではローレンツ変換）。
• パターンデザイン — 壁紙のパターン、タイル張り、テキスタイルデザインは、これら4つの変換の体系的な組み合わせに依存しています（17種類の壁紙群は、可能なすべての周期的な2次元パターンを分類します）。
• 対称性 — ある非自明な変換が図形をそれ自身に写像する場合、その図形は対称性を持ちます。正方形には8つの対称性があります（4つの回転 + 4つの対称移動）。

よくある間違い

• 回転における反時計回り（CCW）と時計回り（CW）の混同。 数学では、回転角は慣習的に反時計回りで測定されます。「90° の回転」とは、特に指定がない限り 90° 反時計回りを意味します。
• 直線 y = x に関する対称移動と x軸に関する対称移動の混同。 前者は座標を入れ替えます：(x,y) → (y,x)。後者は y の符号を反転させます：(x,y) → (x,−y)。これらは非常に異なる像を与えます。
• 拡大縮小が面積を k ではなく k² でスケールすることを忘れる。 すべての長さを2倍にすると面積は4倍になります。多くの現実的な推定誤差はこの点に起因します。
• すべての変換が向きを保存すると仮定する。 対称移動は向きを反転させます；他の変換は向きを保存します。