기하학 변환 계산기

기하 변환 계산기는 평면 기하학의 네 가지 기본 변환인 병진(이동), 반사(대칭), 회전, 확대/축소를 점 (x, y)에 적용하여 상(image) 점을 반환합니다. 이 튜토리얼에서는 각 변환이 점에 미치는 영향, 전체 도형에 미치는 영향, 그리고 어떤 변환이 어떤 성질(길이, 각도, 방향)을 보존하는지 설명합니다.

네 가지 변환 요약

길이와 각도를 보존하는 변환을 등거리 변환(isometry)(또는 강체 변환)이라고 합니다. 이는 도형을 왜곡 없이 이동시키는 변환입니다. 병진, 반사, 회전은 등거리 변환입니다. 확대/축소는 등거리 변환이 아닙니다 — 도형을 더 크거나 작게 만듭니다. 확대/축소는 각도를 보존하므로 닮음(similar) 도형(모양은 같고 크기가 다른)을 생성합니다.

병진(이동) — 모양과 방향을 유지한 채 이동

병진은 도형의 모든 점을 수평으로 h만큼, 수직으로 k만큼 고정된 양만큼 밀어냅니다. 규칙은 다음과 같습니다:

(x, y) → (x + h, y + k)

예제:

• (3, 5)를 (h, k) = (2, −1)로 병진 이동하면: 새로운 점은 (3 + 2, 5 + (−1)) = (5, 4)입니다.
• (−2, 0)를 (4, 7)로 병진 이동하면: 새로운 점은 (2, 7)입니다.

병진은 가장 간단한 변환입니다: 모든 점이 동일한 방식으로 이동합니다. 도형의 크기, 방향, 비율은 그대로 유지되며 좌표 평면 위의 위치만 바뀝니다. 삼각형을 병진 이동하면, 새로 생성된 삼각형은 원래 삼각형과 합동(완전히 동일)합니다.

반사(대칭) — 거울상 뒤집기

반사는 도형을 대칭축(axis of reflection)이라 불리는 선을 기준으로 뒤집습니다. 가장 일반적인 대칭축은 x축, y축, 그리고 직선 y = x와 y = −x입니다.

• x축에 대한 반사: (x, y) → (x, −y). y좌표의 부호가 바뀝니다.
• y축에 대한 반사: (x, y) → (−x, y). x좌표의 부호가 바뀝니다.
• 직선 y = x에 대한 반사: (x, y) → (y, x). 좌표를 바꿉니다.
• 직선 y = −x에 대한 반사: (x, y) → (−y, −x). 좌표를 바꾸고 둘 다 부호를 반대로 합니다.

반사는 거리와 각도를 보존하지만 방향을 반전시킵니다 — 원래 도형의 순서가 시계 방향이라면, 반사된 도형은 반시계 방향이 됩니다(그 반대도 마찬가지). 좌표 기하학에서 이는 중요합니다: 오른손 좌표계를 반사시키면 왼손 좌표계가 됩니다.

예제:

• (3, 5)를 x축에 대해 반사하면: (3, −5).
• (3, 5)를 y축에 대해 반사하면: (−3, 5).
• (3, 5)를 직선 y = x에 대해 반사하면: (5, 3).

회전 — 한 점을 중심으로 돌리기

회전은 도형을 고정된 점(회전 중심)을 기준으로 주어진 각도만큼 돌립니다. 가장 일반적인 회전은 원점 (0, 0)을 중심으로 90°, 180°, 270° 회전하는 것입니다:

• 90° 반시계 방향 회전: (x, y) → (−y, x).
• 180° 회전: (x, y) → (−x, −y).
• 270° 반시계 방향 회전 (= 90° 시계 방향): (x, y) → (y, −x).

원점을 중심으로 각도 θ만큼 일반 회전을 수행할 때, 공식은 삼각함수를 사용합니다: (x, y) → (x·cosθ − y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). 위에서 언급한 세 가지 '간단한' 경우는 θ = 90°, 180°, 270°를 대입하여 얻어집니다(이때 cos과 sin 값은 0 또는 ±1입니다).

회전은 거리, 각도, 그리고 방향을 모두 보존합니다 — 비자명한 등거리 변환 중 방향을 보존하는 유일한 변환입니다. 회전을 통해 관련되는 두 도형은 직접 합동(directly congruent)합니다(모양과 크기가 같고, 손잡이성(handedness)이 같으며, 단순히 회전되었을 뿐입니다).

예제:

• (3, 5)를 90° 반시계 방향으로 회전하면: (−5, 3).
• (3, 5)를 180° 회전하면: (−3, −5).
• (3, 5)를 270° 반시계 방향으로 회전하면: (5, −3).

확대/축소 — 크기 조절

확대/축소는 중심(보통 원점)을 기준으로 상수 배율 k로 도형을 스케일링합니다. 원점을 중심으로 하는 확대/축소 규칙은 다음과 같습니다:

(x, y) → (kx, ky)

여기서:

• k > 1: 확대 (도형이 커짐)
• 0 < k < 1: 축소 (도형이 작아짐)
• k < 0: 확대/축소와 180° 회전의 결합
• k = 1: 항등 변환 (변화 없음)
• k = −1: 180° 회전과 동일

확대/축소는 각도를 보존하지만(닮은 도형은 합동인 각도를 가짐) 거리는 보존하지 않습니다. k = 2로 확대/축소하면 모든 길이는 2배가 되고, 모든 넓이는 4배(k²)가 됩니다. 만약 3차원 확대/축소였다면 모든 부피는 8배(k³)가 되었을 것입니다.

예제:

• (3, 5)를 k = 2로 확대/축소하면: (6, 10).
• (3, 5)를 k = 0.5로 확대/축소하면: (1.5, 2.5).
• (3, 5)를 k = −1로 확대/축소하면: (−3, −5). 180° 회전과 동일합니다.

변환의 조합

변환을 연속적으로 적용할 수 있습니다. 순서는 보통 중요합니다:

• 병진 후 회전은 회전 후 병진과 다릅니다(원점을 중심으로 한 회전은 원점을 고정점으로 사용하기 때문에, 먼저 병진하면 도형이 원점에서 멀리 떨어진 위치로 이동하게 되기 때문입니다).
• 두 평행선에 대한 반사를 연속으로 수행하면 = 두 선 사이의 거리의 2배만큼 그 선들에 수직인 방향으로 병진 이동한 것과 같습니다.
• 두 교차하는 직선에 대한 반사를 연속으로 수행하면 = 두 직선의 교차점을 중심으로 두 직선 사이 각도의 2배만큼 회전한 것과 같습니다.
• 미끄러짐 대칭(glide reflection)은 대칭축에 평행한 병진 이동을 따르는 반사입니다 — 모래 위에 발자국이 남는 패턴을 생성합니다.

실생활 응용

• 컴퓨터 그래픽스 — 모든 2D/3D 게임 및 CAD 도구는 화면에서 모델을 병진, 회전, 스케일링하기 위해 변환 행렬을 사용합니다.
• 물리학 — 기준계 변경은 좌표 변환입니다(고전 역학에서는 갈릴레이 변환, 상대성이론에서는 로런츠 변환).
• 무늬 디자인 — 벽지 무늬, 타일링, 섬유 디자인은 이 네 가지 변환의 체계적인 조합에 의존합니다(17가지 벽지 군(wallpaper groups)은 가능한 모든 반복되는 2D 패턴을 분류합니다).
• 대칭 — 어떤 비자명(non-identity) 변환이 도형을 자기 자신에 매핑시킬 수 있다면, 그 도형은 대칭성을 가집니다. 정사각형은 8개의 대칭성을 가집니다(4개의 회전 + 4개의 반사).

흔한 실수

• 회전의 반시계 방향(CCW)과 시계 방향(CW)을 혼동함. 수학에서는 관례적으로 회전 각도를 반시계 방향으로 측정합니다. 명시적으로 그렇지 않은 한, "90° 회전"은 90° 반시계 방향을 의미합니다.
• 직선 y = x에 대한 반사와 x축에 대한 반사를 혼동함. 첫 번째는 좌표를 바꿉니다: (x,y) → (y,x). 두 번째는 y좌표의 부호를 뒤집습니다: (x,y) → (x,−y). 이들은 매우 다른 결과를 줍니다.
• 확대/축소가 넓이를 k가 아닌 k²로 스케일링한다는 사실을 잊음. 모든 길이를 두 배로 하면 넓이는 4배가 됩니다. 많은 현실 세계의 추정 오류가 여기서 비롯됩니다.
• 모든 변환이 방향을 보존한다고 가정함. 반사는 방향을 반전시킵니다. 나머지 변환들은 방향을 보존합니다.