2D 図形、3D 立体、座標幾何の必須公式を全網羅 — カテゴリ別に整理、各公式は無料計算機にワンクリックでアクセス可能。54+ 個の公式、登録不要。
幾何学は、繰り返し使う少数のコア公式の上に成り立っています。最もよく検索されるのは標準図形の面積、周、体積、表面積 — そしてピタゴラスの定理、距離と中点の公式、多角形の内角の和 (n − 2) × 180°。これらを覚えれば、高校で出会う幾何問題の約 80% をカバーできます。
以下に 54+ の公式を分類別に整理した完全なリファレンスを掲載しています。各エントリには公式本体、1 行の説明、無料計算機への直接リンクが含まれます。登録不要、ペイウォールなし。
幾何のすべての方程式、幾何図形の公式集、特定の幾何の面積公式、または単純な基本幾何公式を探しているか — どんな必須方程式も下のセクションのいずれかにあります。2D 図形（円、三角形、多角形、四角形）から 3D 立体（立方体、円柱、球、円錐、ピラミッド）、座標幾何（距離、中点、傾き）まで — 学年を通してブックマークできる単一のリファレンスです。
最もよく使う幾何公式 — 面積、周の長さ、ピタゴラス、正弦/余弦定理、ヘロンの公式。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 三角形の周 | P = a + b + c |
3 辺の和。 | 使う |
| 三角形の面積（底 × 高さ） | A = ½ × b × h |
b = 底、h = その底への垂直の高さ。 | 使う |
| ヘロンの公式 | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) |
s = (a+b+c)/2（半周）。3 辺のみ既知の場合に使用。 | 使う |
| ピタゴラスの定理 | a² + b² = c² |
直角三角形のみ — c は斜辺。 | 使う |
| 余弦定理 | c² = a² + b² − 2ab·cos(C) |
ピタゴラスを任意の三角形に一般化。 | 使う |
| 正弦定理 | a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) |
ASA、AAS、SSA の三角形に使用。 | 使う |
| 45-45-90 三角形 | sides = 1 : 1 : √2 |
直角二等辺 — 斜辺 = 脚 × √2。 | 使う |
| 30-60-90 三角形 | sides = 1 : √3 : 2 |
特殊な直角三角形 — 長辺 = 短辺 × √3。 | 使う |
| 相似三角形の比 | side'/side = scale factor k |
すべての対応辺は同じ k で比例する。 | 使う |
正方形、長方形、ひし形、平行四辺形、台形 — 全ての四角形の面積と周の長さの公式。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 正方形の面積 | A = s² |
s = 辺の長さ。 | 使う |
| 正方形の周 | P = 4s |
使う | |
| 長方形の面積 | A = l × w |
l = 長さ、w = 幅。 | 使う |
| 長方形の周 | P = 2(l + w) |
使う | |
| 平行四辺形の面積 | A = b × h |
b = 底、h = 垂直の高さ（斜辺ではない）。 | 使う |
| 平行四辺形の周 | P = 2(a + b) |
a、b = 異なる 2 辺の長さ。 | 使う |
| ひし形の面積 | A = ½ × d₁ × d₂ |
d₁、d₂ = 2 つの対角線。 | 使う |
| 台形の面積 | A = ½ × (b₁ + b₂) × h |
b₁、b₂ = 平行底、h = 垂直の高さ。 | 使う |
| 台形の中点連結線 | m = (b₁ + b₂) / 2 |
2 つの平行底の平均。 | 使う |
面積、円周、扇形、弧の長さ — 円の全ての計算は π と半径から導出。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 円の面積 | A = π × r² |
r = 半径。等価：A = π·d²/4。 | 使う |
| 円周 | C = 2π × r = π × d |
円の「周」。d = 2r = 直径。 | 使う |
| 直径 | d = 2 × r |
使う | |
| 扇形の面積 | A_sector = ½ × r² × θ |
θ はラジアン。度数の場合：A = (θ°/360) × π × r²。 | 使う |
| 弧の長さ | L = r × θ |
θ はラジアン。度数の場合：L = (θ°/360) × 2π × r。 | 使う |
| 標準方程式 | (x − h)² + (y − k)² = r² |
中心 (h, k)、半径 r。座標幾何形式。 | 使う |
| 円周角 | ∠inscribed = ½ × ∠central |
円に内接する角は同じ弧を見込む中心角の半分。 | 使う |
内角/外角、正多角形の面積、不規則多角形のための靴ひも公式。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 内角の和 | S = (n − 2) × 180° |
n = 辺の数。五角形 (n=5) → 540°。 | 使う |
| 各内角（正多角形） | a = (n − 2) × 180° / n |
正多角形（すべての辺が等しい）に適用。六角形 → 120°。 | 使う |
| 外角の和 | 360° (always, for any convex polygon) |
n に依存しない。 | 使う |
| 各外角（正多角形） | e = 360° / n |
六角形 → 60°、八角形 → 45°。 | 使う |
| 角の和から辺数 | n = S / 180° + 2 |
逆：S から n を復元。 | 使う |
| 正多角形の面積 | A = ¼ × n × s² × cot(π/n) |
s = 辺の長さ。等価：A = ½ × P × アポテム。 | 使う |
| 靴ひも公式（任意の多角形） | A = ½ × |Σᵢ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| |
頂点座標で定義された不規則多角形に適用。 | 使う |
立方体、直方体、球、円柱、円錐、角錐の体積と表面積。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 立方体の体積 | V = s³ |
s = 辺の長さ。 | 使う |
| 立方体の表面積 | SA = 6s² |
使う | |
| 直方体の体積 | V = l × w × h |
直方体の体積。 | 使う |
| 直方体の表面積 | SA = 2(lw + lh + wh) |
使う | |
| 円柱の体積 | V = π × r² × h |
r = 半径、h = 高さ。 | 使う |
| 円柱の表面積 | SA = 2πr² + 2πrh |
2 つの円形のキャップ + 側面の長方形。 | 使う |
| 球の体積 | V = (4/3) × π × r³ |
使う | |
| 球の表面積 | SA = 4 × π × r² |
4 つの大円の面積に等しい。 | 使う |
| 円錐の体積 | V = (1/3) × π × r² × h |
同じ底面 + 高さの円柱の正確に ⅓。 | 使う |
| 円錐の表面積 | SA = πr² + πrl |
l = 母線 = √(r² + h²)。 | 使う |
| 円錐の側面積 | LSA = π × r × l |
曲面のみ、底面なし。 | 使う |
| 正四角錐の体積 | V = (1/3) × b² × h |
b = 底辺。 | 使う |
| 直方体の対角線 | d = √(l² + w² + h²) |
3D ピタゴラス。 | 使う |
距離、中点、傾き、内分点の公式 — 解析幾何の基本。
| 公式 | 方程式 | 備考 | 計算 |
|---|---|---|---|
| 2 点間の距離 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
座標に適用された 2D ピタゴラス。 | 使う |
| 中点の公式 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
線分の正確な中点。 | 使う |
| 直線の傾き | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) |
縦の変化 ÷ 横の変化。垂直線は傾き未定義。 | 使う |
| 傾き切片形式 | y = mx + b |
m = 傾き、b = y 切片。 | 使う |
| 点傾き形式 | y − y₁ = m(x − x₁) |
既知の 1 点 + 傾きから直線を構築。 | 使う |
| 内分点公式 | P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) |
m : n に内分する点。10 年生で必須。 | 使う |
| 3D 距離 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
2D 距離公式に z 軸を追加。 | 使う |
| 平行線 | m₁ = m₂ |
傾きが等しい。 | 使う |
| 垂直線 | m₁ × m₂ = −1 |
傾きが負の逆数。 | 使う |
高校レベルでは：三角形/長方形/円/平行四辺形/台形の面積 + 周；立方体/円柱/球の体積 + 表面積；ピタゴラスの定理（a² + b² = c²）；距離公式；多角形の内角の和 (n − 2) × 180°。その他はこれらから数秒で導出できます。
周は輪郭を測定します（1D — cm 等の単位）。面積は 2D 表面を測定します（cm² 等の単位）。体積は立体内部の 3D 空間を測定します（cm³ 等の単位）。一辺 5 cm の正方形は周 20 cm、面積 25 cm²、（立方体として）体積 125 cm³ です。
n 辺の任意の多角形は、1 頂点から対角線を引くことで (n − 2) 個の重ならない三角形に分割できます。各三角形の内角の和は 180° なので、多角形の総内角の和は (n − 2) × 180°。五角形（n = 5）は 3 つの三角形に分割 → 540°。
底辺とその底辺への垂直高さがわかっているときは ½ × 底辺 × 高さ を使用。3 辺の長さのみがわかる場合（高さがない場合）はヘロンの公式を使用。ヘロン：A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))、s = (a+b+c)/2。
側面積（LSA = πrl）は曲面のみで、l = √(r² + h²) は母線。全表面積（SA = πr² + πrl）は円形底面を追加。円錐を包むとき（塗装、布など）は側面積、完全に囲むときは全表面積を使用。
上記すべての公式はユークリッド（平面）幾何学とデカルト（直交）座標を使用しています。変換なしには球面幾何学（地表）、双曲幾何学、または非デカルト系（極座標、円柱座標）には適用されません。日常の学校・工学数学にはユークリッドのカバー範囲で十分です。
はい。このページのすべての公式は、無料・無制限で利用できる計算機にリンクしています — 登録不要。AI ステップバイステップ解説は 1 回 3 クレジット（すべてのアカウントは登録時に 30 クレジット無料付与）。