Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie die gleiche Form UND die gleiche Größe haben – entsprechende Seiten gleich, entsprechende Winkel gleich. Es gibt genau 5 Standardmethoden zum Beweisen der Kongruenz, und die Wahl der richtigen hängt davon ab, was gegeben ist. Diese Anleitung geht alle 5 mit Beispielen und häufigen Fallstricken durch.
Jede Methode benennt, was erforderlich ist. Das Muster in jedem Namen: jeder Buchstabe ist entweder ein "S" (eine Seite ist gleich gegeben) oder ein "A" (ein Winkel ist gleich gegeben).
Beachten Sie, was fehlt: Es gibt kein SSA-Postulat (das "Eselstheorem" — es funktioniert nicht immer, da SSA in zwei verschiedene Dreiecke passen kann). Und es gibt auch kein AAA-Postulat — gleiche Winkel beweisen nur Ähnlichkeit, nicht Kongruenz.
Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks den drei Seiten eines anderen gleich sind, sind die Dreiecke kongruent. Die Reihenfolge beim Abgleichen ist wichtig: die längste Seite in einem muss der längsten im anderen entsprechen usw.
Beispiel. Dreieck ABC hat AB = 5, BC = 7, CA = 6. Dreieck DEF hat DE = 5, EF = 7, FD = 6. Nach SSS ist △ABC ≅ △DEF.
Wann es verwenden: wenn Sie alle drei Seitenlängen haben und keine Winkelinformation. Häufig in Vermessung, Entwurf und Beweisen für starre Rahmenkonstruktionen.
Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gleich sind, sind die Dreiecke kongruent. Der Winkel MUSS der eingeschlossene sein (zwischen den zwei gegebenen Seiten), sonst scheitert der Beweis.
Beispiel. △ABC: AB = 8, ∠B = 50°, BC = 10. △DEF: DE = 8, ∠E = 50°, EF = 10. Nach SAS (der 50°-Winkel liegt zwischen den 8- und 10-Seiten in beiden), △ABC ≅ △DEF.
Häufiger Fehler: Verwendung von SSA — zwei Seiten und ein NICHT eingeschlossener Winkel. Dies ist KEIN gültiges Postulat (SSA kann zwei verschiedene Dreiecke erzeugen, der "mehrdeutige Fall"). Überprüfen Sie immer, ob der Winkel zwischen den zwei Seiten liegt.
Wenn zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen gleich sind, sind die Dreiecke kongruent. Der dritte Winkel ist automatisch bestimmt (Winkel in einem Dreieck summieren sich zu 180°), und die verbleibenden Seiten folgen aus dem Sinusgesetz.
Beispiel. △ABC: ∠A = 40°, AB = 6, ∠B = 80°. △DEF: ∠D = 40°, DE = 6, ∠E = 80°. Nach ASA ist △ABC ≅ △DEF.
Wann ASA in Beweisen erscheint: oft wenn Parallellinien alternierende Innen- oder entsprechende Winkel "kostenlos" geben und Sie eine gemeinsame/gegebene Seite haben. Dies ist das häufigste Postulat in Lehrbuchbeweisen, die Parallellinien oder Querschnitte beinhalten.
Ähnlich wie ASA, aber die Seite liegt NICHT zwischen den zwei gegebenen Winkeln. Dennoch gültig, da sobald zwei Winkel feststehen, der dritte auch — und eine einzelne Seite fixiert dann die Größe.
Beispiel. △ABC: ∠A = 30°, ∠B = 70°, BC = 9. △DEF: ∠D = 30°, ∠E = 70°, EF = 9. Nach AAS ist △ABC ≅ △DEF.
ASA vs. AAS: Der einzige Unterschied ist, ob die gleiche Seite zwischen den zwei gleichen Winkeln liegt. ASA: eingeschlossene Seite. AAS: nicht eingeschlossene Seite. Beide beweisen Kongruenz; einige Lehrbücher kombinieren sie als "AAS/ASA".
Nur für rechtwinklige Dreiecke. Wenn die Hypotenuse und ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks der Hypotenuse und einem Bein eines anderen gleich sind, sind die Dreiecke kongruent.
Beispiel. Rechtwinkliges △ABC hat ∠C = 90°, Hypotenuse AB = 13, Bein BC = 5. Rechtwinkliges △DEF hat ∠F = 90°, Hypotenuse DE = 13, Bein EF = 5. Nach HL ist △ABC ≅ △DEF.
Warum HL besonders ist: Es ist effektiv SSA — aber da wir WISSEN, dass ein Winkel 90° ist, kann der mehrdeutige Fall nicht eintreten. Die dritte Seite wird durch den Pythagoras-Satz bestimmt (12 in diesem Beispiel), sodass sobald Hypotenuse + Bein übereinstimmen, alles übereinstimmt.
Keine davon sind gültige Kongruenz-Postulate: