두 삼각형은 같은 모양과 같은 크기를 가질 때 합동입니다 — 대응하는 변이 같고, 대응하는 각이 같습니다. 합동을 증명하는 정확히 5가지 표준 방법이 있으며, 올바른 방법을 선택하는 것은 주어진 정보에 따라 다릅니다. 이 가이드는 모든 5가지를 작업 예제와 일반적인 함정과 함께 안내합니다.
각 방법은 요구되는 것을 이름으로 지정합니다. 모든 이름의 패턴: 각 글자는 "S" (주어진 변이 같음) 또는 "A" (주어진 각이 같음)입니다.
누락된 것을 유의하세요: SSA 공준은 없습니다 ("당나귀 정리" — 항상 작동하지 않기 때문에 동일한 SSA가 두 개의 다른 삼각형에 맞을 수 있습니다). 그리고 AAA 공준도 없습니다 — 같은 각은 삼각형이 유사함을 증명할 뿐, 합동이 아닙니다.
한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 모두 같으면, 삼각형은 합동입니다. 매칭할 때 순서가 중요합니다: 한 삼각형의 가장 긴 변은 다른 삼각형의 가장 긴 변과 같아야 하며, 등등입니다.
예제. 삼각형 ABC는 AB = 5, BC = 7, CA = 6을 가집니다. 삼각형 DEF는 DE = 5, EF = 7, FD = 6을 가집니다. SSS에 의해, △ABC ≅ △DEF.
사용 시기: 세 변의 길이를 모두 가지고 각 정보가 없을 때. 측량, 도면 작성, 강성 프레임 공학 증명에서 흔합니다.
두 변과 그 사이의 각이 같으면, 삼각형은 합동입니다. 각은 반드시 두 주어진 변 사이의 포함된 각이어야 하며, 그렇지 않으면 증명이 무너집니다.
예제. △ABC: AB = 8, ∠B = 50°, BC = 10. △DEF: DE = 8, ∠E = 50°, EF = 10. SAS에 의해 (50° 각이 양쪽에서 8과 10 변 사이에 있음), △ABC ≅ △DEF.
일반적인 실수: SSA 사용 — 두 변과 비포함 각. 이는 유효한 공준이 아닙니다 (SSA는 두 개의 다른 삼각형을 생성할 수 있음, "모호한 경우"). 각이 두 변 사이에 끼어 있는지 항상 확인하세요.
두 각과 그 사이의 변이 같으면, 삼각형은 합동입니다. 세 번째 각은 자동으로 결정됩니다 (삼각형의 각 합은 180°), 나머지 변은 사인 법칙에 따라 따릅니다.
예제. △ABC: ∠A = 40°, AB = 6, ∠B = 80°. △DEF: ∠D = 40°, DE = 6, ∠E = 80°. ASA에 의해, △ABC ≅ △DEF.
증명에서 ASA가 나타날 때: 종종 평행선이 대체 내부 각이나 대응 각을 "무료"로 주고, 하나의 공유/주어진 변이 있을 때. 평행선이나 횡선이 포함된 교과서 증명에서 가장 흔한 공준입니다.
ASA와 유사하지만 변은 두 주어진 각 사이가 아닙니다. 여전히 유효합니다. 왜냐하면 두 각이 고정되면 세 번째 각도 고정되고, 하나의 변이 크기를 고정시키기 때문입니다.
예제. △ABC: ∠A = 30°, ∠B = 70°, BC = 9. △DEF: ∠D = 30°, ∠E = 70°, EF = 9. AAS에 의해, △ABC ≅ △DEF.
ASA 대 AAS: 유일한 차이는 같은 변이 두 같은 각 사이에 있는지 여부입니다. ASA: 포함 변. AAS: 비포함 변. 둘 다 합동을 증명합니다; 일부 교과서는 이를 "AAS/ASA"로 결합합니다.
직각삼각형에만 해당합니다. 한 직각삼각형의 빗변과 한 다리가 다른 직각삼각형의 빗변과 한 다리와 같으면, 삼각형은 합동입니다.
예제. 직각 △ABC는 ∠C = 90°, 빗변 AB = 13, 다리 BC = 5를 가집니다. 직각 △DEF는 ∠F = 90°, 빗변 DE = 13, 다리 EF = 5를 가집니다. HL에 의해, △ABC ≅ △DEF.
HL이 특별한 이유: 이는 효과적으로 SSA입니다 — 하지만 한 각이 90°임을 알기 때문에 모호한 경우가 발생할 수 없습니다. 세 번째 변은 피타고라스 정리에 의해 결정됩니다 (이 예제에서 12), 따라서 빗변 + 다리가 일치하면 모든 것이 일치합니다.
이것들 중 어느 것도 유효한 합동 공준이 아닙니다: