每个多边形——三角形、四边形、五边形、六边形，一直到百边形——都基于边数具有可预测的角度公式。记住两个事实，你就能解决所有多边形角度问题：
| 公式 | 方程 | 使用时机 |
|---|---|---|
| 内角和 | S = (n − 2) × 180° | 任何多边形，正多边形或非正多边形 |
| 每个内角（仅正多边形） | a = (n − 2) × 180° / n | 所有边 + 角度相等 |
| 外角和 | 360° (always) | 任何凸多边形 |
| 每个外角（仅正多边形） | e = 360° / n | 所有边相等 |
奖励恒等式： 在任何顶点，内角 + 外角 = 180°（它们是补充角）。
选择任何多边形，从一个顶点绘制所有对角线。你总是会将它分割成精确的 n − 2 个三角形。每个三角形的三个角度和为 180°，它们的总角度填充整个多边形。所以：
多边形角度和 = (n − 2) 个三角形 × 每个三角形 180° = (n − 2) × 180°
这是理解的最重要的几何推导——一旦你明白为什么，你就永远不会忘记这个公式。
| n (边数) | 名称 | 内角和 | 每个内角 (正多边形) | 每个外角 (正多边形) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 三角形 | 180° | 60° | 120° |
| 4 | 四边形 | 360° | 90° | 90° |
| 5 | 五边形 | 540° | 108° | 72° |
| 6 | 六边形 | 720° | 120° | 60° |
| 7 | 七边形 | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | 八边形 | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | 九边形 | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | 十边形 | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | 十一边形 | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | 十二边形 | 1800° | 150° | 30° |
如果你知道内角和 S，边数是：
n = S / 180° + 2
示例：S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 边 (十三边形)。
对于正多边形：a = (n − 2) × 180° / n。求 n：
n = 360° / (180° − a)
示例：每个内角是 162°。n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 边 (二十边形)。
五边形有 4 个已知角度 (110°、95°、130°、105°)。和 = (5 − 2) × 180° = 540°。缺失角度 = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°。
"正多边形的每个内角是 144°。有多少边？" 使用 n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 边 (十边形)。
"在一个六边形中，四个角度各为 120°。剩余两个相等。求它们。" 和 = 720°。已知 = 4 × 120 = 480°。剩余 2 个和为 720 − 480 = 240°。每个 = 120°。
想象围绕多边形行走。在每个顶点，你转动外角量。完成循环后，你转动了完整的 360°。这对任何凸多边形都是正确的——n 可以是 3、100 或 1000，总转动总是 360°。
这使得每个顶点外角公式对于正多边形简单地 e = 360°/n。
对于交互工具，使用我们的 多边形角度和计算器 —— 输入 n 即可一次性获取所有四个值。对于从已知和或角度求 n，尝试我们的 多边形边数计算器。
这些公式适用于凹多边形吗？ 内角和适用（仍是 (n−2)×180°）。对于外角，“凹”可能有负或反外角，如果正确考虑符号，仍和为 360°。大多数学校问题使用凸多边形。
星形多边形呢？ 星形多边形（五芒星等）遵循不同规则——上述公式仅适用于简单凸/凹多边形。
可以使用弧度吗？ 是的。将 180° 替换为 π。和 = (n − 2)π，外角和 = 2π。大多数学校工作 us