다각형 변 계산기

다각형 변의 수 계산기는 표준 다각형 각도 문제의 역을 다룹니다. 즉, "n개의 변이 주어졌을 때 내각의 합을 구하는" 대신 "각도의 합(또는 정다각형의 한 내각)이 주어졌을 때 다각형의 변의 수는 얼마인가?"를 묻습니다. 이 두 역은 동일한 항등식에서 도출되며, 본 튜토리얼에서는 이를 처음부터 유도하고 3개의 풀이 예제를 통해 설명합니다.

주 항등식

모든 n개의 변을 가진 볼록 다각형에 대해:

내각의 합 S = (n − 2) × 180°

이유: 다각형의 임의의 한 꼭짓점을 선택하고, 그 꼭짓점에서 인접하지 않은 다른 꼭짓점들로 모든 대각선을 그립니다. 이렇게 하면 다각형이 정확히 (n − 2)개의 겹치지 않는 삼각형으로 나뉩니다(3각형 → 1개 삼각형, 4각형 → 2개, 5각형 → 3개 등). 각 삼각형의 내각의 합은 180°이므로, 다각형의 내각의 합은 (n − 2) × 180°가 됩니다.

보조 항등식: 외각의 합은 항상 360°이며, 이는 n에 관계없이 성립합니다. (각 외각 = 180° − 대응하는 내각. 합산: n × 180° − (n − 2) × 180° = 2 × 180° = 360°.)

역 1: S로부터 n 구하기 (모든 다각형)

S = (n − 2) × 180°를 n에 대해 정리하면:

n = S / 180° + 2  (또는 동등하게 n = (S + 360°) / 180°)

예제 1: S = 1080°. n = 1080 / 180 + 2 = 6 + 2 = 8변 (팔각형).

예제 2: S = 3240°. n = 3240 / 180 + 2 = 18 + 2 = 20변 (이십각형).

이 역은 각도 합 항등식이 보편적으로 성립하므로, 정다각형이든 부정다각형이든 모든 다각형에 적용됩니다.

역 2: 한 내각으로부터 n 구하기 (정다각형만 해당)

정다각형(모든 변과 각이 같은)의 경우, 각 내각 = (n − 2) × 180° / n입니다. n에 대해 정리하면:

n = 360° / (180° − 각 내각)

유도 과정: 각 내각을 i라고 합시다. 그러면 i = (n − 2) × 180° / n → n·i = 180n − 360 → 360 = n(180 − i) → n = 360 / (180 − i).

예제 3: i = 135°. n = 360 / (180 − 135) = 360 / 45 = 8변 (정팔각형).

예제 4: i = 144°. n = 360 / 36 = 10변 (정십각형).

예제 5: i = 60°. n = 360 / 120 = 3변 (정삼각형 — 내각이 60°인 유일한 정다각형).

타당성 검사

• n은 3 이상의 정수여야 합니다. 계산 결과가 n = 4.7 또는 n = 2.3이라면 입력이 잘못되었습니다: 변의 수가 4.7개인 다각형은 존재하지 않으며, 변의 수가 3개 미만인 "다각형"은 존재하지 않습니다.
• 볼록 정다각형의 각 내각은 (60°, 180°) 범위 내에 있습니다. 60° 미만 → 닫히기에 꼭짓점이 부족함. 180°와 같음 → 다각형이 아님(직선). 180°에 가까워짐 → 변의 수가 매우 많음(예: 175° → 72변).
• 각도 합은 n에 대해 선형적으로 증가합니다. 변이 하나 추가될 때마다 S에 정확히 180°가 더해집니다. 빠른 정신 계산 확인: 오각형 = 540°, 육각형 = 720°, 칠각형 = 900°.

흔한 실수

• "+2" 없이 "n = S / 180"를 사용하는 것. 항등식은 (n − 2) × 180이므로, 역에서는 2를 더해야 합니다. +2를 잊으면 n을 2만큼 과소평가하게 됩니다.
• 부정다각형에 "각 내각" 공식을 적용하는 것. n = 360 / (180 − i)는 모든 내각이 같을 때(정다각형)에만 작동합니다. 부정다각형의 경우, 모든 내각의 총합을 사용하여 각도 합 역공식을 사용해야 합니다.
• 내각과 외각을 혼동하는 것. 각 외각 = 180° − 각 내각입니다. 입력값이 외각인 경우(예: "외각 45°"), 먼저 변환하십시오: i = 180° − 45° = 135°, 그런 다음 공식을 적용합니다.
• 오목 다각형을 다루는 것. 이 항등식은 볼록 다각형(내각이 180°보다 큰 각이 없는)을 가정합니다. 오목/자기 교차 경우의 경우, 먼저 볼록한 부분으로 분해하십시오.

다른 계산기를 사용해야 할 때

• 순방향(n → S 또는 n → 각 내각)의 경우, 다각형 각도 합 계산기를 사용하십시오.
• n과 변의 길이로부터 정다각형의 넓이/둘레/꼭짓점 좌표를 구하려면, 다각형 허브의 표준 다각형 넓이 도구를 참조하십시오.
• 좌표로부터 부정다각형의 내각 또는 외각을 계산하려면, Shoelace + 내각 접근법이 좌표 기반 계산기에 있습니다.