直角二等辺三角形計算機

直角二等辺三角形（45-45-90三角形とも呼ばれる）は、幾何学を学ぶ学生が一目で識別できるようになる2つの「特殊な」直角三角形の一つです。その角度は45°、45°、90°に固定されており、辺の長さの比は一定です：1 : 1 : √2。このチュートリアルでは、なぜこれらの数値が決まるのかを説明し、ピタゴラスの定理から比を導出し、計算機の2方向の求解（脚→斜辺、または斜辺→脚）について解説します。

なぜ角度が45-45-90でなければならないか

直角三角形には90°の角が1つあります。他の2つの角の和は90°でなければなりません（3つの角の合計が180°であるため）。もしその三角形が二等辺三角形でもある場合、2つの辺の長さが等しくなります。直角三角形において、等しい辺の候補となるのは2つの脚のみです（斜辺は常に最長の辺であり、脚のいずれかと等しくなることはできません）。等しい脚を持つため、それらに対向する角も等しくなります（二等辺三角形の底角は等しい）。これら2つの等しい角の和が90°になるためには、それぞれが45°でなければなりません。

結論：2つの脚が等しい直角三角形は、必ず角度が45°、45°、90°を持ち、逆に角度が45-45-90の三角形は必ず直角二等辺三角形です。この2つの条件は同値です。

1 : 1 : √2 の比の導出

両方の脚の長さを1と仮定します。ピタゴラスの定理を適用します：

斜辺² = 1² + 1² = 2 より、斜辺 = √2 ≈ 1.4142

スケーリング：両方の脚の長さをLとすると、斜辺 = L × √2 となります。脚 : 脚 : 斜辺 = 1 : 1 : √2 という比は、スケールに関係なくすべての45-45-90三角形で成り立ちます。

2方向の求解

この計算機は、脚または斜辺のどちらか一方を入力できます（両方を入力することはできません）。入力された値から、もう一方の辺およびすべての派生値が計算されます：

• 脚 L から： 斜辺 = L√2、面積 = L²/2、周囲長 = 2L + L√2。
• 斜辺 H から： 脚 = H/√2 = H√2/2、面積 = H²/4、周囲長 = H√2 + H。

脚と斜辺の両方を入力した場合、それらが矛盾している場合はエラーになります（例：脚 = 5、斜辺 = 6 — しかし 5√2 ≈ 7.07 であり、6ではありません）。

worked examples（解題例）

例1 — 脚から： L = 5。斜辺 = 5√2 ≈ 7.0711。面積 = 5²/2 = 12.5。周囲長 = 10 + 5√2 ≈ 17.0711。

例2 — 斜辺から： H = 10。脚 = 10/√2 = 10√2/2 = 5√2 ≈ 7.0711。面積 = 100/4 = 25。周囲長 = 10 + 10√2 ≈ 24.1421。

例3 — 逆確認： 例1の斜辺（5√2）を入力として戻すと、脚 = 5 が得られるはずです。これは簡単な代数的な往復計算です。

実際にこの三角形を見る場所

• 単位正方形の対角線。 辺の長さが1の正方形には、対角線の長さが √2 あります。これは、正方形を対角線で2つの45-45-90三角形に分割することで導かれます。
• 大工や設計者の定規。 製図で使われる古典的な45°三角定規は、まさに45-45-90三角形です。
• タイルのパターン。 正方形のタイルを対角線で切断すると、2つの45-45-90三角形ができ、多くの装飾パターンや敷き詰め（テッセレーション）の基礎となります。
• 紙の折り紙（折り紙）。 正方形の紙を1回対角線で折ると、2つの45-45-90三角形が作られます。基本的な折り紙の折り目パターンの多くはこの性質に基づいています。
• 45°の三角関数。 sin 45° = cos 45° = √2/2、tan 45° = 1 です。これらの正確な値は、1 : 1 : √2 の比から直接来ます。

45-45-90 と 30-60-90 の比較

幾何学で暗記する有名な2つの特殊な直角三角形：

どちらも正三角形または直角二等辺三角形の構成を切り分けることで作られます。問題に「きれいな」数値が与えられている場合、計算機を使わずに解くことができます。

よくある間違い

• √2 を 2 と間違える。 斜辺は 脚 × √2 ≈ 1.414 × 脚 であり、2 × 脚 ではありません。単位正方形の対角線の長さは約1.41であり、2ではありません。
• 脚 = 斜辺 × √2 （逆向き）を使う。 正しい逆演算は除算です — 脚 = 斜辺 / √2。有理化すると：脚 = 斜辺 × √2 / 2。
• 脚と斜辺の両方を入力する。 どちらか一方を選んでください。計算機がもう一方を計算します。
• 45°に近い角を持つ直角三角形はすべて45-45-90だと仮定する。 直角以外の2つの角は正確に45°でなければなりません。角度が44-46-90の三角形は直角ですが、二等辺ではありません。