相似三角形計算機

相似な三角形は、形は同じだが大きさが異なる可能性がある三角形です。対応する角が等しく、対応する辺の比が一定です。三角形の相似性は、幾何学的相似という概念全体の大前提であり、間接測定（影から建物の高さを求める、建築図面を縮尺するなど）の基礎となります。このチュートリアルでは、3つの相似条件（AA、SSS相似、SAS相似）、拡大率（スケールファクター）、比例を用いた欠けた辺の求め方、および相似と合同の関係について解説します。

「相似」とは何か

2つの三角形 △ABC と △DEF が相似である（△ABC ~ △DEF と表記）とは、以下の2つがともに成り立つことを意味します：

1. 対応する角が等しい：∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F。
2. 対応する辺の比が一定である：AB/DE = BC/EF = CA/FD = k （kは拡大率）。

三角形の場合、どちらかの条件が満たされればもう一方も自動的に満たされます（これが三角形の特別な性質であり、相似性を簡単に検証できる理由です。下の条件参照）。より複雑な多角形（四角形、五角形など）では、両方の条件を個別に確認する必要があります。

3つの相似条件

三角形の場合、以下の3つの条件のいずれかを満たせば、相似であると結論付けられます：

AA は最も一般的に使用される条件です。必要な情報が最少で済むためです。2つの角が一致すれば、3つ目の角も自動的に一致します（3つの角の和は180°）。すべての角が一致すれば、辺の比も必然的に一定になります。

拡大率

△ABC から △DEF への拡大率 k は、対応する辺の比として定義されます：

k = DE / AB = EF / BC = FD / CA

三角形が相似であるためには、この3つの比がすべて等しくなければなりません。これが定義です。

• k = 1: 三角形は合同である（形も大きさも同じ）。
• k > 1: △DEF は △ABC の拡大図である。
• 0 < k < 1: △DEF は △ABC の縮小図である。

worked example — AAを用いて欠けた辺を求める

三角形1（△ABC）は、辺 AB = 5、BC = 8、角 ∠B = 50° を持つ。
三角形2（△DEF）は △ABC に相似で、対応する辺 DE = 7.5 である。EF の長さを求めよ。

ステップ1: AAにより相似を確認する（角 ∠B と ∠E は対応する角であり、どちらも50°で位置も一致している場合、AA条件を満たす。問題文で相似であることが与えられているため、ここではそれを前提とする）。

ステップ2: 拡大率を求める：k = DE / AB = 7.5 / 5 = 1.5。

ステップ3: k を用いて EF を求める：EF = BC × k = 8 × 1.5 = 12。

これは普遍的な手法です。任意の一組の対応する辺から拡大率を特定し、その後他の辺に掛け合わせます。

worked example — AAを用いて相似性を証明する

△ABC の角は 50°, 60°, 70° である。△DEF の角は 70°, 60°, 50° である。これらは相似か？

両方の三角形は同じ3つの角のセットを持つ。したがって、AAにより相似である（2組の等しい角があれば、3つの角すべてが一致する）。

注意：対応関係は頂点に対して正しく設定されなければならない。△ABC で ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70° であり、△DEF で ∠D = 70°, ∠E = 60°, ∠F = 50° の場合、∠A は ∠F（ともに50°）に対応し、∠B は ∠E（ともに60°）に対応し、∠C は ∠D（ともに70°）に対応する。したがって、正しい相似の記述は △ABC ~ △FED であり、△ABC ~ △DEF ではない。

相似性と合同性の違い

合同な三角形のペアはすべて相似である（k = 1 の場合）。しかし、多くの相似な三角形は合同ではありません。形は共有しても、大きさは異なります。

なぜ「AAA」相似という条件がないのか？

「AAA」は不要です。2つの角が一致すれば、180°の法則によって3つ目の角が自動的に決まるためです。AAで十分であり、3つ目のAは冗長です。

また、「AAA」や「AAA相似」という用語がないのは、3つの角が一致することのみでは「相似性」は証明されても「合同性」は証明されないからです。2つの三角形は同じ角を持ちながら大きさが大きく異なる場合があります（小さな30-60-90の三角形と巨大な30-60-90の三角形は相似ですが、合同ではありません）。

なぜ「ASA相似」という条件がないのか？

ASA相似はAA相似に帰着されるためです。2つの角が等しければ、3つ目の角も自動的に等しくなります。「辺」の条件を加えると、実際には合同へと格上げされます（挟まれた辺の長さが拡大率を固定するため）。ASA自体は合同の条件であり、相似の条件ではありません。

面積比と周長比

拡大率 k の相似な三角形において：

• 対応する辺の比は k
• 周長の比は k
• 面積の比は k²

これは「長さのスケールファクターは、面積については2乗でスケールする」という中心的な規則です。すべての辺を2倍にすると面積は4倍になり、すべての辺を半分にする面積は4分の1になります。

例：△ABC の面積は 12、辺 AB = 4 である。△DEF は相似で、辺 DE = 6 である。拡大率 k = 6/4 = 1.5。△DEF の面積 = 12 × k² = 12 × 2.25 = 27。

実世界での応用 — 間接測定

古典的な問題：木（または建物、旗竿など）に登らずに高さを求める。

設定：日当たりの良い地面にメーター棒を垂直に立てる。棒は測定可能な長さの影を落とす。同じ時刻、同じ日光の下にある木は、より長い影を落とす。

木と棒は、地面と太陽光線によって相似な三角形を形成する。相似な三角形の比例関係より：

木の高さ / 木の影の長さ = 棒の高さ / 棒の影の長さ

棒が 1 m で影が 0.8 m、木が影を 12 m 落とす場合：木の高さ = (1 / 0.8) × 12 = 15 m。

この手法は現在でも測量や天文学で使用されている（紀元前240年頃のエラトステネスは、この考え方を応用して、遠く離れた2つの都市で同時に立てた垂直な棒の影の長さを用い、地球の円周を2%以内の誤差で推定した）。

よくある間違い

• 頂点の対応関係を間違える。 相似の記述 △ABC ~ △DEF は、AがD、BがE、CがFに対応することを指定する（順序通り）。順序を間違えると、辺の比も間違ってしまう。
• 面積が k ではなく k² に比例することを忘れる。 辺を2倍にすると面積は4倍になる。
• 「相似」を「似ている」という意味で捉える。 相似性は正確な数学的関係であり、角が等しくかつ辺の比が一定であることを意味する。視覚的に似ていても、厳密に条件を満たしていない場合がある。
• SSS相似を使うと考える。 SSAは合同の条件ではないのと同様、相似の条件でもない。2辺とその間の角でない角を与えられただけでは、三角形（相似かどうかにかかわらず）は一意に定まらない。