幾何学に上達する最速の方法は、何度も登場する少数のパターンを記憶することです。学生がすぐに使える10の精神的な近道を紹介します。各トリックは問題あたり30秒から数分を節約します。
直角三角形に(3, 4, 5)のうち2つが見えたら、残りは欠けているものです。(5, 12, 13)も同様です。また(8, 15, 17)、(7, 24, 25)も。 これらを認識すれば、毎回a² + b² = c²を計算する必要がなくなります。
ヒント：倍数も使えます。(6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(10, 24, 26)はスケールされた三つ組です。
30-60-90三角形が見られたら、辺は常に比率1 : √3 : 2（短い辺 : 長い辺 : 斜辺）です。これを一度記憶すれば、これらに対して三角関数を計算する必要がなくなります。
例：斜辺 = 10。短い辺 = 5。長い辺 = 5√3 ≈ 8.66。
等脚直角三角形。脚は等しく、斜辺 = 脚 × √2。
例：脚 = 7。斜辺 = 7√2 ≈ 9.90。
#2と組み合わせると、これら2つの「特殊直角三角形」は、正確な非小数解答を含むほとんどの試験問題をカバーします。
#3の直接的な応用。辺が5の正方形の対角線は5√2 ≈ 7.07。
立方体の場合、空間対角線（角から反対角を通る体積内のもの）は辺 × √3です。
2本の平行線が横断線で交わる場合：
これにより、平行線の設定では1つの角度を知れば8つすべてを知ることができます。証明でASAやAA相似を呼び出す際にこれを使いましょう — 弊社の平行線と横断線計算機を参照してください。
任意の三角形：各辺は他の2辺の和より小さい。したがって、辺3、4、8は三角形を形成できません（3 + 4 = 7 < 8）。
これを使って、不可能な三角形の問題を解く前に素早く却下しましょう。
2つの相似形状の線形比率がkなら、面積の比率はk²です。形状を2倍（k=2）すると面積は4倍になります。3倍（k=3）すると面積は9倍。
3D立体の場合、体積比率はk³に従います。立方体の全寸法を2倍すると体積は8倍になります。
直角でない三角形でも。任意の辺を底辺として選び、反対頂点からその辺への垂直線を落とし、垂直線の長さを測り、代入します。鈍角三角形にも使えます（底辺を外部に延長して垂直線を落とす場合）。
高さがなく3辺すべてがある場合、ヘロンの公式を使います：A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))、ここでs = (a+b+c)/2。（弊社のヘロンの公式計算機を参照してください。）
円に内接する角（頂点が円上、辺が弦）は、同じ弧を張る中心角のちょうど半分です。
特殊ケース：半円に内接する任意の角はちょうど90°です。これはタレスの定理 — 円の問題で直角を証明するのに非常に有用です。
任意のn角形：三角形（n=3）は合計180°、四角形（n=4）は360°、五角形（n=5）は540°、六角形（n=6）は720°。
正多角形の場合、nで割って各内角を得ます：正六角形 = 720°/6 = 各角120°。
ボーナス：外角の和はnに関係なく常に360°。正n角形の各外角 = 360°/n。
| π (pi) | ≈ 3.14159 | 円: C/d |
| √2 | ≈ 1.414 | 単位正方形の対角線 |
| √3 | ≈ 1.732 | 30-60-90の長い辺 |
| √5 | ≈ 2.236 | <td style="padding:5px 10px;border:1px sol