Circle Formula: A = πr², C = 2πr (13 Formulas + Calculator)

Fläche eines Kreises = π × r² (A = πr²), wobei r der Radius ist. Der Umfang eines Kreises = 2π × r = π × d, wobei d der Durchmesser ist. Diese beiden – plus d = 2r – sind die drei Formeln, auf die sich jede Kreisaufgabe reduzieren lässt. Nachfolgend finden Sie alle 13 Kreisformeln, die Sie benötigen: Fläche, Umfang, Radius, Durchmesser, Bogenlänge, Sektorfläche, Sehnenlänge, Segmentfläche, den Satz vom eingeschriebenen Winkel und die analytisch-geometrische Kreisgleichung. Jede wird mit einem durchgerechneten Beispiel erläutert.

Die Formeln

Name	Formel	Hinweise
Fläche (aus Radius)	`A = π × r²`	r = Radius. Die klassische „Formel für die Kreisfläche“.
Fläche (aus Durchmesser)	`A = π × d² / 4`	Verwenden Sie diese, wenn Sie nur den Durchmesser kennen. Abgeleitet von A = πr² mit r = d/2.
Umfang	`C = 2π × r = π × d`	Manchmal auch als Kreisumfangsformel bezeichnet – beide Namen beziehen sich darauf.
Umfang eines Kreises	`P = 2π × r`	Identisch mit Umfang. „Perimeter“ und „Umfang“ sind bei Kreisen Synonyme.
Durchmesser	`d = 2 × r`	Zweimal der Radius. Auch d = U/π, wenn der Umfang bekannt ist.
Radius (aus Fläche)	`r = √(A / π)`	Umkehrung von A = πr². Nützlich, wenn die Fläche gegeben ist.
Radius (aus Umfang)	`r = C / (2π)`	Umkehrung von U = 2πr. Häufig bei realen Messungen.
Sektorfläche	`A_s = ½ × r² × θ`	θ im Bogenmaß. Für Grad: A_s = (θ°/360) × πr².
Bogenlänge	`L = r × θ`	θ in Bogenmaß. Für Grad: L = (θ°/360) × 2πr.
Sehnenlänge	`c = 2r × sin(θ/2)`	θ = Mittelpunktswinkel, der die Sehne unterspannt. Nützlich für eingeschriebene Figuren.
Segmentfläche	`A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ)`	θ im Bogenmaß. Die Fläche zwischen einer Sehne und dem Bogen.
Eingeschriebener Winkel	`∠inscribed = ½ × ∠central`	Ein eingeschriebener Winkel ist halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.
Kreisgleichung	`(x − h)² + (y − k)² = r²`	Mittelpunkt bei (h, k), Radius r. Die Standardform der analytischen Geometrie.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Fläche + Umfang eines Kreises mit Radius 5 cm finden

Area: A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²
Circumference (= perimeter): C = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm
Diameter: d = 2 × 5 = 10 cm

Beispiel 2: Berechne den Radius aus Fläche = 50 cm²

Start from A = π × r² → r² = A / π = 50 / π ≈ 15.915
r = √15.915 ≈ 3.99 cm
Then diameter = 2 × 3.99 ≈ 7.98 cm, and circumference = 2π × 3.99 ≈ 25.07 cm

Beispiel 3: Berechne die Fläche, wenn nur der Durchmesser bekannt ist (d = 12 cm)

Use the diameter formula A = π × d² / 4
A = π × 12² / 4 = π × 144 / 4 = 36π
A ≈ 113.10 cm²

Beispiel 4: Berechne Bogenlänge und Sektorfläche für einen 60°-Sektor in einem Kreis mit r = 10 cm

Convert to radians: θ = 60° × (π/180) = π/3 ≈ 1.0472 rad
Arc length: L = r × θ = 10 × π/3 ≈ 10.47 cm
Sector area: A_s = ½ × r² × θ = ½ × 100 × π/3 ≈ 52.36 cm²
Cross-check via degrees: A_s = (60/360) × π × 10² = (1/6) × 100π ≈ 52.36 cm² ✓

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Fläche eines Kreises?

Die Fläche eines Kreises ist A = π × r², wobei r der Radius ist. Wenn Sie nur den Durchmesser d kennen, verwenden Sie die äquivalente Form A = π × d² / 4. π (Pi) beträgt ungefähr 3,14159.

Ist der Umfang eines Kreises dasselbe wie sein Kreisumfang?

Ja. Bei einem Kreis bedeuten „Umfang“ und „Kreisumfang“ dasselbe – die Länge der Außenlinie. Beide sind gleich 2π × r (oder π × d). Das Wort „Umfang“ ist in Schulbüchern gebräuchlicher; „Kreisumfang“ ist der in der Geometrie verwendete Fachbegriff.

Wie findet man den Radius eines Kreises aus dem Umfang?

Teilen Sie den Umfang durch 2π: r = U / (2π). Beispiel: Ein Kreis mit Umfang 31,42 cm hat einen Radius von ≈ 31,42 / 6,2832 ≈ 5 cm.

Wie findet man die Fläche eines Kreises aus dem Durchmesser?

Verwenden Sie A = π × d² / 4. Der Durchmesser wird quadriert, mit π multipliziert und durch 4 geteilt. Alternativ halbieren Sie den Durchmesser, um den Radius zu erhalten, und verwenden A = πr². Beide Formeln liefern dasselbe Ergebnis.

Was bedeutet π (Pi) in Kreisformeln?

π ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (π = U/d ≈ 3,14159). Dieses Verhältnis ist für jeden Kreis gleich, unabhängig von seiner Größe, weshalb jede Kreisformel π enthält.

Wie findet man die Fläche eines Kreissektors?

Sektorfläche = (θ/360) × π × r², wenn θ der Mittelpunktswinkel in Grad ist, oder A_s = ½ × r² × θ, wenn θ im Bogenmaß ist. Beispiel: Ein 90°-Sektor in einem Kreis mit Radius 4 hat eine Fläche = (90/360) × π × 16 = 4π ≈ 12,57.

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