원의 공식 모음 — A = πr², C = 2πr (13가지 공식 + 계산기)

원의 넓이 = π × r² (A = πr²), 여기서 r은 반지름입니다. 원의 둘레(원주라고도 함) = 2π × r = π × d, 여기서 d는 지름입니다. 이 두 공식과 d = 2r은 모든 원 문제를 푸는 세 가지 기본 공식입니다. 아래에는 필요한 13가지 원 공식이 있습니다: 넓이, 둘레/원주, 반지름, 지름, 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현의 길이, 활꼴의 넓이, 원주각 정리, 그리고 해석기하학에서의 원의 방정식. 각 공식에는 예제가 포함되어 있습니다.

공식

이름	공식	비고
넓이 (반지름으로부터)	`A = π × r²`	r = 반지름. 고전적인 "원의 넓이 공식".
넓이 (지름으로부터)	`A = π × d² / 4`	지름만 알 때 사용합니다. r = d/2를 A = πr²에 대입하여 유도됩니다.
둘레	`C = 2π × r = π × d`	때로는 원의 둘레 공식이라고도 불리며, 두 이름 모두 이것을 가리킵니다.
원의 둘레	`P = 2π × r`	원주와 동일합니다. 원에서 "둘레"와 "원주"는 동의어입니다.
지름	`d = 2 × r`	반지름의 두 배입니다. 원주를 알면 d = C/π이기도 합니다.
반지름 (넓이로부터)	`r = √(A / π)`	A = πr²의 역함수입니다. 넓이가 주어졌을 때 유용합니다.
반지름 (원주로부터)	`r = C / (2π)`	C = 2πr의 역함수입니다. 실제 측정에서 흔히 사용됩니다.
부채꼴 넓이	`A_s = ½ × r² × θ`	θ는 라디안 단위입니다. 도 단위일 경우: A_s = (θ°/360) × πr².
호의 길이	`L = r × θ`	θ는 라디안. 도수일 때: L = (θ°/360) × 2πr.
현의 길이	`c = 2r × sin(θ/2)`	θ = 현에 대응하는 중심각입니다. 내접 도형에 유용합니다.
활꼴의 넓이	`A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ)`	θ는 라디안 단위입니다. 현과 호 사이의 영역입니다.
원주각	`∠inscribed = ½ × ∠central`	원주각은 같은 호를 받치는 중심각의 절반.
원의 방정식	`(x − h)² + (y − k)² = r²`	중심이 (h, k)이고 반지름이 r입니다. 해석기하학의 표준형입니다.

풀이 예제

예제 1: 반지름 5 cm 원의 넓이 + 둘레 구하기

Area: A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²
Circumference (= perimeter): C = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm
Diameter: d = 2 × 5 = 10 cm

예제 2: 넓이가 50 cm²일 때 반지름 구하기

Start from A = π × r² → r² = A / π = 50 / π ≈ 15.915
r = √15.915 ≈ 3.99 cm
Then diameter = 2 × 3.99 ≈ 7.98 cm, and circumference = 2π × 3.99 ≈ 25.07 cm

예제 3: 지름만 알 때 넓이 구하기 (d = 12 cm)

Use the diameter formula A = π × d² / 4
A = π × 12² / 4 = π × 144 / 4 = 36π
A ≈ 113.10 cm²

예제 4: 반지름이 10 cm인 원에서 중심각 60°인 부채꼴의 호의 길이와 넓이 구하기

Convert to radians: θ = 60° × (π/180) = π/3 ≈ 1.0472 rad
Arc length: L = r × θ = 10 × π/3 ≈ 10.47 cm
Sector area: A_s = ½ × r² × θ = ½ × 100 × π/3 ≈ 52.36 cm²
Cross-check via degrees: A_s = (60/360) × π × 10² = (1/6) × 100π ≈ 52.36 cm² ✓

자주 묻는 질문

원의 넓이 공식은 무엇인가요?

원의 넓이는 A = π × r²이며, 여기서 r은 반지름입니다. 지름 d만 알 경우 동등한 형태인 A = π × d² / 4를 사용합니다. π(파이)는 약 3.14159입니다.

원의 둘레와 원주는 같은 것인가요?

네. 원에서 "둘레"와 "원주"는 같은 의미입니다 — 바깥 둘레의 거리입니다. 둘 다 2π × r (또는 π × d)와 같습니다. "둘레"는 학교 교과서에서 더 흔히 사용되고, "원주"는 기하학에서 사용되는 전문 용어입니다.

원주로부터 반지름을 어떻게 구하나요?

원주를 2π로 나눕니다: r = C / (2π). 예를 들어, 원주가 31.42 cm인 원의 반지름은 ≈ 31.42 / 6.2832 ≈ 5 cm입니다.

지름으로부터 원의 넓이를 어떻게 구하나요?

A = π × d² / 4를 사용합니다. 지름을 제곱하고 π를 곱한 후 4로 나눕니다. 또는 지름을 반으로 나누어 반지름을 구한 후 A = πr²를 사용합니다. 두 공식 모두 같은 결과를 줍니다.

원 공식에서 π(파이)는 무엇을 의미하나요?

π는 모든 원의 원주와 지름의 비율입니다 (π = C/d ≈ 3.14159). 이 비율은 크기에 관계없이 모든 원에서 동일하므로, 모든 원 공식에 π가 포함됩니다.

부채꼴의 넓이는 어떻게 구하나요?

부채꼴의 넓이 = (θ/360) × π × r² (θ가 도 단위일 때), 또는 A_s = ½ × r² × θ (θ가 라디안 단위일 때). 예를 들어, 반지름이 4인 원에서 중심각 90°인 부채꼴의 넓이는 (90/360) × π × 16 = 4π ≈ 12.57입니다.

원 공식

공식