Kongruente-Dreiecke-Rechner

Der Kongruenz-Rechner für Dreiecke prüft, ob zwei Dreiecke kongruent (also in Größe und Form identisch) sind, indem er die fünf anerkannten Kongruenzsätze anwendet: SSS, SWS, WSW, WW-S und H-K. Dieses Tutorial zeigt, wie Sie erkennen können, welcher Satz in einem gegebenen Problem anzuwenden ist, enthält durchgerechnete Beispiele für jeden Satz und behandelt häufige "Fallstricke" (SSW und WWW), die zwar funktionieren könnten, es aber nicht tun.

Was Kongruenz genau bedeutet

Zwei Dreiecke sind kongruent (geschrieben △ABC ≅ △DEF), wenn ALLE der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Seite AB = Seite DE (in der Länge)
• Seite BC = Seite EF
• Seite CA = Seite FD
• Winkel A = Winkel D
• Winkel B = Winkel E
• Winkel C = Winkel F

Das sind 6 Gleichungen. Sie müssen jedoch nicht alle 6 überprüfen — die unten stehenden Sätze ermöglichen es Ihnen, aus einer kleineren, ausreichenden Menge von Informationen auf die Kongruenz zu schließen.

Schnelle Entscheidungsbaum — welcher Satz ist anzuwenden?

SSS — der einfachste Fall

Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks gleich den drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, sind die Dreiecke kongruent. Bei der Zuordnung ist die Reihenfolge wichtig: Paaren Sie die längste Seite mit der längsten im anderen Dreieck, die mittlere mit der mittleren und die kürzeste mit der kürzesten.

Durchgerechnetes Beispiel: Dreieck 1 hat die Seiten 5, 7, 9. Dreieck 2 hat die Seiten 9, 7, 5. Die Dreiecke SIND kongruent (SSS), auch wenn die Seiten in unterschiedlicher Reihenfolge aufgelistet sind.

SWS — zwei Seiten + eingeschlossener Winkel

Wenn zwei Seiten und der Winkel DAZWISCHEN gleich sind, sind die Dreiecke kongruent. Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen.

Durchgerechnetes Beispiel: Dreieck 1 hat die Seiten AB = 6 und AC = 8 mit dem eingeschlossenen ∠A = 50°. Dreieck 2 hat die Seiten DE = 6 und DF = 8 mit ∠D = 50°. SWS → kongruent.

Was NICHT funktioniert: Zwei Seiten AB = 6, AC = 8 und der Winkel ∠B = 50° — das ist SSW (der Winkel liegt NICHT zwischen den gegebenen Seiten). SSW ist der berühmte "Zweideutigkeitsfall" — er kann null, ein oder zwei Dreiecke erzeugen.

WSW — zwei Winkel + eingeschlossene Seite

Wenn zwei Winkel und die Seite DAZWISCHEN gleich sind, sind die Dreiecke kongruent. Sobald zwei Winkel bekannt sind, ist der dritte festgelegt (Summe = 180°), und die Seite fixiert die Skalierung.

Durchgerechnetes Beispiel: Dreieck 1 hat ∠A = 40°, Seite AB = 7, ∠B = 80°. Dreieck 2 hat ∠D = 40°, Seite DE = 7, ∠E = 80°. WSW → kongruent.

WSW tritt am häufigsten in Beweisen im Zusammenhang mit Parallelen auf, da Sätze über Parallelen Ihnen Winkelgleichheiten "gratis" liefern und Sie oft eine gemeinsame/gegebene Seite haben.

WW-S — zwei Winkel + nicht eingeschlossene Seite

Der vierte Satz ist im Wesentlichen WSW, bei dem die Seite verschoben wurde. Zwei gleiche Winkel + eine gleiche Seite (die Seite liegt NICHT zwischen den beiden gegebenen Winkeln) → Dreiecke kongruent.

Durchgerechnetes Beispiel: Dreieck 1 hat ∠A = 35°, ∠B = 75°, Seite BC = 9 (gegenüberliegend zu ∠A, nicht zwischen A und B). Dreieck 2 hat ∠D = 35°, ∠E = 75°, Seite EF = 9. WW-S → kongruent.

Warum WW-S funktioniert: Das Wissen um zwei Winkel erzwingt den dritten, was den Fall nach Bestimmung des dritten Winkels äquivalent zu WSW macht.

H-K — der nur für rechtwinklige Dreiecke geltende Satz

Für rechtwinklige Dreiecke reicht es aus, die Hypotenuse und eine Kathete zu kennen. Dies funktioniert, weil der 90°-Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, addiert zu einer bekannten Kathete und Hypotenuse, die dritte Seite über den Satz des Pythagoras erzwingt.

Durchgerechnetes Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck 1 hat die Hypotenuse 13, eine Kathete 5 (die andere Kathete nach Pythagoras = 12). Rechtwinkliges Dreieck 2 hat die Hypotenuse 13, eine Kathete 5 (die andere Kathete = 12). H-K → kongruent.

H-K ist im Wesentlichen SSW mit einem rechten Winkel — SSW funktioniert im Allgemeinen nicht, aber der 90°-Winkel beseitigt den Zweideutigkeitsfall. Siehe den Rechtwinklige-Dreieck-Kongruenz-Rechner für die spezialisierte Version mit H-W, K-W und K-K.

Die Fallstricke — SSW und WWW

Zwei Buchstabenkombinationen sehen so aus, als würden sie funktionieren, tun es aber nicht:

SSW (Seite-Seite-Winkel, nicht eingeschlossen): zweideutig. Dieselben SSW-Eingaben können null, ein oder zwei Dreiecke ergeben. Warum: Die unbekannte Seite kann "schwingen" und zwei Positionen einnehmen, die beide gültig sind. Ausnahme: SSW mit einem rechten Winkel (= H-K) funktioniert, weil der rechte Winkel die Zweideutigkeit entfernt.

WWW (Winkel-Winkel-Winkel): Gleiche Winkel beweisen nur ÄHNLICHKEIT, keine Kongruenz. Ein kleines Dreieck und eine stark vergrößerte Version davon haben dieselben Winkel, aber unterschiedliche Größen. WWW gibt "gleiche Form", nicht "gleiche Form UND Größe".

SSW = SSW: einfach SSW rückwärts buchstabiert. Dieselbe Zweideutigkeit.

Der 6-Schritte-Entscheidungsbaum (in der Praxis)

1. Ist das Dreieck rechtwinklig und sind Hypotenuse + Kathete gegeben? → H-K.
2. Sind alle 3 Seiten gegeben? → SSS.
3. 2 Seiten + eingeschlossener Winkel? → SWS.
4. 2 Winkel + eingeschlossene Seite? → WSW.
5. 2 Winkel + nicht eingeschlossene Seite? → WW-S.
6. Alles andere (nur SSW ohne rechten Winkel, nur WWW)? → NICHT ausreichend — mehr Informationen erforderlich.

CPCTC — der universelle Schritt danach

Sobald Sie bewiesen haben, dass zwei Dreiecke durch IRGENDEINEN Satz kongruent sind, können Sie schlussfolgern, dass ALLE sechs Paare entsprechender Teile (3 Seiten + 3 Winkel) gleich sind. Dies ist CPCTC: Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent (Entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent).

CPCTC ist der Standard-Schlusspunkt von Beweisen, die zu dem Ergebnis kommen, "zwei Segmente sind gleich" oder "zwei Winkel sind gleich", indem sie den Zwischenschritt gehen, die einschließenden Dreiecke als kongruent zu beweisen.

Häufige Fehler

• SSW als Satz zu verwenden. SSW ist der Zweideutigkeitsfall — er kann null, ein oder zwei Dreiecke erzeugen. NICHT ausreichend für Kongruenz.
• WWW als Kongruenz zu behandeln. Gleiche Winkel beweisen Ähnlichkeit (gleiche Form). Das Hinzufügen von "und gleicher Skalierung" erfordert ebenfalls eine Seite. Allein mit WWW wird nur Ähnlichkeit bewiesen.
• Die falschen Seiten in SSS zu paaren. Stellen Sie sicher, dass Sie die längste mit der längsten, die mittlere mit der mittleren und die kürzeste mit der kürzesten paaren. Das Kreuzen dieser Paare führt zu einer falschen Kongruenz.
• Den Unterschied zwischen "eingeschlossen" und "nicht eingeschlossen" zu vergessen. SWS erfordert den Winkel ZWISCHEN den beiden gegebenen Seiten. WSW erfordert die Seite ZWISCHEN den beiden gegebenen Winkeln. Wenn Sie dies falsch machen, gilt der Satz nicht.
• Den Satz zu zitieren, ohne die Elemente zu zeigen. Ein vollständiger Beweis muss explizit angeben, welche zwei Seiten + welcher Winkel (oder welche zwei Winkel + welche Seite). "Daher kongruent nach SWS" allein ist unvollständig.