합동 삼각형 계산기

합동 삼각형 계산기는 5가지 공인된 합동 조건(SSS, SAS, ASA, AAS, HL)을 사용하여 두 삼각형이 합동인지(크기와 모양이 동일한지) 확인합니다. 이 튜토리얼에서는 주어진 문제에서 어떤 조건이 적용되는지 식별하는 방법, 각 조건의 풀이 예시, 그리고 작동할 것 같지만 실제로는 그렇지 않은 일반적인 함정(SSA 및 AAA)에 대해 설명합니다.

합동의 정확한 의미

두 삼각형이 합동(△ABC ≅ △DEF로 표기)하려면 다음 모든 조건이 충족되어야 합니다:

• 변 AB의 길이 = 변 DE의 길이
• 변 BC = 변 EF
• 변 CA = 변 FD
• 각 A = 각 D
• 각 B = 각 E
• 각 C = 각 F

총 6개의 등식이 필요합니다. 하지만 모든 6개를 검증할 필요는 없습니다. 아래 조건들을 통해 더 작고 충분한 집합으로부터 합동을 결론지을 수 있습니다.

빠른 의사결정 나무 — 어떤 조건을 사용할까?

SSS — 가장 간단한 경우

한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 모두 같다면 두 삼각형은 합동입니다. 대응시킬 때 순서가 중요합니다: 가장 긴 변끼리, 중간 길이의 변끼리, 가장 짧은 변끼리 짝지어야 합니다.

풀이 예시: 삼각형 1의 변의 길이가 5, 7, 9입니다. 삼각형 2의 변의 길이가 9, 7, 5입니다. 변의 나열 순서가 다르더라도 두 삼각형은 합동입니다(SSS).

SAS — 두 변과 포함夹角

두 변과 그 사이의夹角이 같다면 두 삼각형은 합동입니다. 각은 반드시 주어진 두 변 사이에 위치해야 합니다.

풀이 예시: 삼각형 1에서 변 AB = 6, 변 AC = 8이며 포함각 ∠A = 50°입니다. 삼각형 2에서 변 DE = 6, 변 DF = 8이며 ∠D = 50°입니다. SAS → 합동.

작동하지 않는 경우: 두 변 AB = 6, AC = 8과 각 ∠B = 50° — 이는 SSA입니다(각이 주어진 두 변 사이에 있지 않음). SSA는 유명한 '모호한 경우'로, 0개, 1개 또는 2개의 삼각형을 생성할 수 있습니다.

ASA — 두 각과 포함변

두 각과 그 사이의 변이 같다면 두 삼각형은 합동입니다. 두 각을 알면 세 번째 각은 자동으로 결정되며(합 = 180°), 변의 길이가 크기를 고정합니다.

풀이 예시: 삼각형 1에서 ∠A = 40°, 변 AB = 7, ∠B = 80°입니다. 삼각형 2에서 ∠D = 40°, 변 DE = 7, ∠E = 80°입니다. ASA → 합동.

평행선 관련 증명에서 ASA가 가장 자주 등장하는데, 평행선 정리가 각의 크기가 같음을 '무료로' 제공해주기 때문이며, 종종 공유되거나 주어진 변 하나가 있기 때문입니다.

AAS — 두 각과 비포함변

네 번째 조건은 본질적으로 변의 위치가 바뀐 ASA입니다. 두 각이 같고 + 한 변이 같음(해당 변은 주어진 두 각 사이에 있지 않음) → 삼각형 합동.

풀이 예시: 삼각형 1에서 ∠A = 35°, ∠B = 75°, 변 BC = 9(∠A의 대변, A와 B 사이가 아님)입니다. 삼각형 2에서 ∠D = 35°, ∠E = 75°, 변 EF = 9입니다. AAS → 합동.

AAS가 작동하는 이유: 두 각을 알면 세 번째 각이 강제되므로, 세 번째 각을 구한 후 이 경우는 ASA와 동일해지기 때문입니다.

HL — 직각삼각형 전용 조건

직각삼각형의 경우, 빗변과 한 변만 알면 충분합니다. 이는 직각삼각형의 90° 각과 알려진 변, 빗변을 함께 사용하면 피타고라스 정리를 통해 세 번째 변이 강제되기 때문에 작동합니다.

풀이 예시: 직각삼각형 1에서 빗변 13, 한 변 5(피타고라스 정리에 따른 다른 변 = 12)입니다. 직각삼각형 2에서 빗변 13, 한 변 5(다른 변 = 12)입니다. HL → 합동.

HL은 본질적으로 직각을 포함한 SSA입니다. SSA는 일반적으로 작동하지 않지만, 90° 각은 모호함을 제거합니다. HA, LA, LL 전용 버전에 대해서는 직각삼각형 합동 계산기를 참조하십시오.

함정 — SSA와 AAA

작동할 것 같지만 실제로는 작동하지 않는 두 가지 조합이 있습니다:

SSA (Side-Side-Angle, 비포함각): 모호함. 동일한 SSA 입력값이 0개, 1개 또는 2개의 삼각형에 해당할 수 있습니다. 이유: 미지의 변이 두 위치 중 하나로 '흔들릴' 수 있으며, 둘 다 유효합니다. 예외: 직각을 포함한 SSA(= HL)는 직각이 모호함을 제거하므로 작동합니다.

AAA (Angle-Angle-Angle): 각이 같다는 것은 닮음만 증명할 뿐 합동은 증명하지 않습니다. 작은 삼각형과 그것을 크게 확대한 삼각형은 각은 같지만 크기가 다릅니다. AAA는 '같은 모양'을 주지만 '같은 모양 AND 크기'를 주지는 않습니다.

ASS = SSA: SSA를 거꾸로 쓴 것입니다. 동일한 모호함이 존재합니다.

실전 6단계 의사결정 나무

1. 삼각형이 직각삼각형이고 빗변과 한 변이 주어졌는가? → HL.
2. 세 변이 모두 주어졌는가? → SSS.
3. 두 변과 포함각이 주어졌는가? → SAS.
4. 두 각과 포함변이 주어졌는가? → ASA.
5. 두 각과 비포함변이 주어졌는가? → AAS.
6. 그 외의 경우(직각 없는 SSA, AAA만)? → 불충분 — 추가 정보 필요.

CPCTC — 보편적인 후속 단계

어떤 조건을 사용하든 두 삼각형이 합동임을 증명했다면, 모든 6쌍의 대응 부분(3변 + 3각)이 같다고 결론지을 수 있습니다. 이를 CPCTC(Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, 합동인 삼각형의 대응부분은 합동이다)라고 합니다.

CPCTC는 '두 선분이 같다' 또는 '두 각이 같다'는 결론을 내리는 증명의 표준 마지막 단계로, 이를 위해 포함된 두 삼각형이 합동임을 증명하는 중간 단계를 거칩니다.

잘못된 접근법

• SSA를 조건인 것처럼 사용하는 것. SSA는 모호한 경우로, 0개, 1개 또는 2개의 삼각형을 생성할 수 있습니다. 합동을 증명하기에 충분하지 않습니다.
• AAA를 합동으로 오해하는 것. 각이 같다는 것은 닮음(같은 모양)을 증명합니다. '같은 비율'을 추가하려면 변의 정보도 필요합니다. AAA만으로는 닮음만 증명합니다.
• SSS에서 잘못된 변을 대응시키는 것. 가장 긴 변끼리, 중간 변끼리, 짧은 변끼리 짝지어야 합니다. 이 짝을 잘못 맞추면 거짓된 합동이 도출됩니다.
• '포함'과 '비포함'을 잊는 것. SAS에는 주어진 두 변 사이의 각이 필요합니다. ASA에는 주어진 두 각 사이의 변이 필요합니다. 이를 잘못 이해하면 조건이 적용되지 않습니다.
• 요소를 보여주지 않고 조건만 인용하는 것. 완전한 증명은 어떤 두 변과 어떤 각(또는 어떤 두 각과 어떤 변)이 해당하는지 명시적으로 서술해야 합니다. '따라서 SAS에 의해 합동이다'라고만 쓰는 것은 불완전합니다.