合同三角形計算機

合同三角形計算機は、5つの認められた合同条件（SSS、SAS、ASA、AAS、およびHL）を用いて、2つの三角形が合同（サイズと形状が同一）かどうかをチェックします。このチュートリアルでは、与えられた問題でどの条件を適用すべきかを認識する方法、各条件のworked example（解付き例題）、そして機能するように見えるが実際には機能しない一般的な「罠」（SSAとAAA）について解説します。

合同の正確な意味

2つの三角形が合同である（△ABC ≅ △DEF と表記する）とは、以下のすべてが成り立つときをいいます：

• 辺 AB の長さ = 辺 DE の長さ
• 辺 BC の長さ = 辺 EF の長さ
• 辺 CA の長さ = 辺 FD の長さ
• ∠A = ∠D
• ∠B = ∠E
• ∠C = ∠F

これらは6つの等式です。しかし、すべての6つを検証する必要はありません。以下の条件を使えば、より少ない十分条件から合同性を結論づけられます。

クイック判断木 — どの条件を使うか

SSS — 最も単純なケース

ある三角形の3辺が、もう一つの三角形の3辺とそれぞれ等しければ、その2つの三角形は合同です。対応させる際には順序が重要です：最長辺同士、中間の長さの辺同士、最短辺同士をペアにしてください。

解付き例題： 三角形1の辺の長さが 5, 7, 9 です。三角形2の辺の長さが 9, 7, 5 です。辺のリスト順は異なりますが、三角形は合同です（SSS）。

SAS — 2辺とその間の角

2辺とその間の角が等しければ、三角形は合同です。角は、与えられた2辺の間に挟まれている必要があります。

解付き例題： 三角形1は、AB = 6、AC = 8、その間の角 ∠A = 50° を持ちます。三角形2は、DE = 6、DF = 8、∠D = 50° を持ちます。SAS → 合同。

機能しないケース： 2辺 AB = 6、AC = 8、および角 ∠B = 50° — これは SSA です（角は与えられた2辺の間にはありません）。SSAは有名な「不定の場合」であり、0個、1個、または2個の三角形を生じさせる可能性があります。

ASA — 2角とその間の辺

2角とその間の辺が等しければ、三角形は合同です。2つの角が既知であれば、第3の角は自動的に決まり（和 = 180°）、辺によってスケール（大きさ）が固定されます。

解付き例題： 三角形1は ∠A = 40°、辺 AB = 7、∠B = 80° を持ちます。三角形2は ∠D = 40°、辺 DE = 7、∠E = 80° を持ちます。ASA → 合同。

ASAは、平行線に関する証明で最も頻繁に現れます。なぜなら、平行線の定理により角度の等価性が「無料で」得られ、共有されているか与えられた辺が1つあることが多いからです。

AAS — 2角とその間の辺以外の辺

4番目の条件は、本質的に辺の位置が変わったASAです。2つの角が等しく + 1つの辺が等しい（その辺は与えられた2つの角の間にはない）→ 三角形は合同。

解付き例題： 三角形1は ∠A = 35°、∠B = 75°、辺 BC = 9（∠A の対辺、AとBの間ではない）を持ちます。三角形2は ∠D = 35°、∠E = 75°、辺 EF = 9 を持ちます。AAS → 合同。

なぜAASが機能するか：2つの角が分かれば第3の角が決まるため、第3の角を決定した後はASAと同値になります。

HL — 直角三角形専用の条件

直角三角形において、斜辺と1辺（脚）が分かれば十分です。これは、直角三角形の90°の角が既知の辺と斜辺に加わることで、三平方の定理によって第3の辺が強制されるためです。

解付き例題： 直角三角形1は、斜辺 13、1辺 5（三平方の定理により他の辺 = 12）を持ちます。直角三角形2は、斜辺 13、1辺 5（他の辺 = 12）を持ちます。HL → 合同。

HLは本質的に直角を含むSSAです。SSAは一般には機能しませんが、90°の角があることで不定性が解消されます。HA、LA、LLを含む特殊なバージョンについては、直角三角形合同計算機をご覧ください。

罠 — SSAとAAA

機能するように見えるが実際には機能しない、2つの文字の組み合わせがあります：

SSA（辺-辺-角、非間接）：不定です。同じSSAの入力でも、0個、1個、または2個の三角形に対応できます。理由：未知の辺が2つの位置に「揺れる」ことができ、どちらも有効だからです。例外：直角を含むSSA（= HL）は、直角が不定性を除去するため機能します。

AAA（角-角-角）：角が等しいだけでは相似（形が同じ）を示すだけであり、合同は示しません。小さな三角形とそれを大きく拡大した三角形は、角度は同じですが大きさが異なります。AAAは「同じ形」を与えますが、「同じ形かつ同じ大きさ」は与えません。

ASS = SSA：単にSSAを逆から読んだものです。同じ不定性があります。

実践的な6ステップの判断木

1. 三角形が直角三角形で、斜辺と1辺が与えられているか？ → HL。
2. 3辺すべてが与えられているか？ → SSS。
3. 2辺とその間の角が与えられているか？ → SAS。
4. 2角とその間の辺が与えられているか？ → ASA。
5. 2角とその間の辺以外の辺が与えられているか？ → AAS。
6. それ以外（直角のないSSAのみ、AAAのみ）？ → 不十分。追加の情報が必要。

CPCTC — 普遍的な後処理ステップ

任意の条件を用いて2つの三角形が合同であることを証明した後、すべての6組の対応する部分（3辺 + 3角）が等しいと結論づけられます。これをCPCTC（Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent：合同な三角形の対応する部分は合同である）と呼びます。

CPCTCは、「2つの線分が等しい」または「2つの角が等しい」と結論付ける証明における標準的な最終ステップです。これは通常、包含する三角形が合同であることを証明するという中間ステップを経て行われます。

よくある間違い

• SSAを条件のように使用すること。 SSAは不定の場合であり、0個、1個、または2個の三角形を生じさせる可能性があります。合同性の証明には不十分です。
• AAAを合同とみなすこと。 角が等しいことは相似（同じ形）を示します。「同じスケール」を加えるには辺も必要です。AAAのみでは相似しか証明できません。
• SSSで辺の対応を間違えること。 最長辺同士、中間の長さの辺同士、最短辺同士をペアにしていることを確認してください。これらのペアを交差させると、誤った合同判定になります。
• 「間の（included）」と「間のでない（non-included）」を忘れること。 SASには、与えられた2辺の「間の」角が必要です。ASAには、与えられた2角の「間の」辺が必要です。これを間違えると条件は適用されません。
• 要素を示さずに条件を引用すること。 完全な証明では、どの2辺とどの角（またはどの2角とどの辺）を明示的に述べる必要があります。「したがってSASにより合同」とだけ書くのは不十分です。