距離と中点の公式：例付き完全ガイド

距離公式と中点公式は、座標幾何学で最もよく使われる結果の2つです。これらは2点 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) を取り、(a) それらがどれだけ離れているか、(b) それらを結ぶ線分の正確な中心を即座に与えます。このガイドでは、両方を最初から導出し、演習例を示し、3Dに拡張します。

2つの公式

距離公式

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

中点公式

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

距離公式はどこから来るのですか？

これはまさにピタゴラスの定理 (a² + b² = c²) を座標に適用したものです。2点 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) を取ります：

• 水平距離（「辺」）= |x₂ − x₁|
• 垂直距離（「辺」）= |y₂ − y₁|
• 直線距離（「斜辺」）= √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

それだけです。ピタゴラスの定理を覚えれば、距離公式も覚えたことになります。二乗するので、減算の順序は関係ありません（負の二乗 = 正）。

中点公式はどこから来るのですか？

中点は2つの端点の平均 — 座標ごとにです。中点の x は2つの x 値の平均、中点の y は2つの y 値の平均です：

• x_mid = (x₁ + x₂) / 2
• y_mid = (y₁ + y₂) / 2

これは2つの数の算術平均を取るのと同じ — x と y に別々に適用します。

5つの演習例

例1: 基本 — 点 (1, 2) と (4, 6)

距離: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
中点: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)

例2: 負の座標あり — (−3, 5) と (4, −1)

距離: d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
中点: M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)

例3: 水平線 — (3, 7) と (10, 7)

y が同じなので y₂ − y₁ = 0:
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 （ただ |x₂ − x₁|）
M = (6.5, 7)

例4: 中点が与えられた場合の欠損端点の求め方

「線分の中央が (4, 6) で、一方の端点が (1, 2) です。他方を求めよ。」
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
他方の端点: (7, 10)

例5: 三角形が正三角形であることを検証

頂点 A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464)。3辺すべてを求めよ：
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
すべて 4 = ✓ → 正三角形。

3D拡張

3D点 (x₁, y₁, z₁) と (x₂, y₂, z₂) の場合：

• 3D距離: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
• 3D中点: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)

同じ考え方で、1次元追加するだけです。例: P(1, 2, 3) と Q(4, 6, 8)。距離 = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07; 中点 = (2.5, 4, 5.5)。

よくある間違い

• 二乗を忘れる: 距離は √((Δx)² + (Δy)²) で、|Δx| + |Δy| ではない（それは「タクシー」距離で、異なる公式）。
• 符号の誤り: 負の値を二乗する際は括弧を使用。(−6)² = 36 で、−36 ではない。
• 中点で平均の代わりに加算: M_x = (x₁ + x₂) / 2 で、(x₁ + x₂) ではない。
• x と y を混同: Δx と Δy を別々に計算し、それぞれを二乗。1つの結合値として計算しようとしない。

即時計算には 距離と中点計算機 を使用してください。関連する区間公式（線分を任意の比率で分割、1:1 に限らず）については、区間公式計算機 を参照してください。

FAQ

これらの公式は SAT/ACT/クラス10 にありますか？ はい — 両方の公式は、世界中のほぼすべての二次幾何学コースで中核カリキュラムです。SAT Math、ACT、インドのクラス10 ボード試験で頻繁にテストされます。

点が極座標の場合？ まず直交座標に変換: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ)。それから上記の公式を適用。極距離公式もありますが、より複雑です。

なぜ距離は常に正ですか？ 二乗により差が正（またはゼロ）になり、非負数の平方根は非負です。距離は決して負になれません — それは長さ、大きさです。