等比数列計算機

等比数列とは、前の項に一定の非ゼロ数（公比 (r)）を乗じて各項を得る数の列です。例：2, 6, 18, 54, ... の公比は 3 です。等比数列は、代数学における2つの基礎的な数列の一種です（もう一方は加算を用いる等差数列）。このチュートリアルでは、n番目の項の公式、部分和、無限和、およびこれらの数列の識別と扱い方について解説します。

n番目の項の公式

等比数列の初項を a、公比を r とすると、n番目の項は次のように表されます：

aₙ = a × rⁿ⁻¹

なぜ指数が n ではなく n − 1 なのか：慣習により、第1項の添字は n = 1 であり、0 ではありません。したがって、a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a、a₂ = a × r¹ = a × r、a₃ = a × r² となります。指数は常に項番号より1小さくなります。

例：2, 6, 18, 54, ... において、a = 2、r = 3 です。7番目の項は a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458 です。

等比数列の判定

数のリストが与えられた場合、連続する2項の組で割り算を行います。すべての商が同じであれば、その数列は等比数列であり、その商が公比 r です。

• 2, 6, 18, 54, ...: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 ✓ 公比 r = 3 の等比数列。
• 1, 4, 9, 16, ...: 4/1 = 4, 9/4 = 2.25 ✗ 等比数列ではありません。（これは完全平方数の列であり、差については等差ですが、比については等差ではありません。）
• 100, 50, 25, 12.5, ...: 50/100 = 0.5, 25/50 = 0.5, 12.5/25 = 0.5 ✓ 公比 r = 0.5 の等比数列。

最初の n 項の和（部分和）

等比数列の最初の n 項を加算するには、閉じた形の公式があり、項ごとに足し合わせる必要はありません：

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r) （ただし r ≠ 1 のとき有効）。

r = 1 の場合、すべての項が a に等しいため、Sₙ = n × a となります（公式は不要）。

公式の導出：和を S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹ と書きます。両辺に r を掛けると、rS = ar + ar² + ... + arⁿ となります。引き算を行うと、S − rS = a − arⁿ となり、S(1 − r) = a(1 − rⁿ) から、S = a(1 − rⁿ)/(1 − r) が得られます。

例：5, 10, 20, 40, ... の最初の6項の和：a = 5、r = 2、n = 6。S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315。

無限和 — 級数が収束するとき

|r| < 1 （公比の絶対値が厳密に1未満）の場合、項は0に近づき、無限和は収束します：

S∞ = a / (1 − r)

|r| ≥ 1 の場合、項は縮小せず、和は発散します（無制限に増加するか、定着せずに振動します）。

例：無限和 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... において、a = 1、r = ½、|r| < 1 ✓ です。S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2。これはゼノンが「アキレスと亀」のパラドックスで使用した幾何級数です：各ステップで残りの距離の半分を進むため、無限個の半分のステップの和は有限の距離になります。

別の例：1 + 2 + 4 + 8 + ... において r = 2、|r| = 2 > 1 です。和は無限大へ発散し、有限の値を持ちません。

負の公比の認識と扱い

r が負の場合、項の符号は交互に入れ替わります：a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

例：3, −6, 12, −24, 48, ... において a = 3、r = −2 です。

n番目の項の公式および和の公式は、負の r に対してもそのまま適用できます。無限和は、r が負であっても |r| < 1 ならば収束します。例：1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3。

幾何平均 — 乗法的な中間値

2つの正の数 a と b の幾何平均は次のように定義されます：

GM = √(a × b)

これは、初項が a、末項が b である3項からなる等比数列の中央の項です。例えば、4 と 9 の幾何平均は √36 = 6 であり、数列 4, 6, 9 は公比が全体を通して 1.5 です（6/4 = 9/6 = 1.5）。

比率、利回り、成長率、その他の乗法的な量の平均化には、算術平均よりも幾何平均が好まれます。「2倍」と「3倍」の算術平均は 2.5倍 になりますが、幾何平均 √(2 × 3) ≈ 2.45倍 は複利計算を正しく反映します。

worked examples（完全解答）

例1 — 8番目の項を求める： 数列 3, 6, 12, 24, ... において a = 3、r = 2 です。a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384。

例2 — 2つの項から r を求める： a₁ = 2、a₅ = 162 です。公式 a₅ = a₁ × r⁴ を用いると、r⁴ = 162/2 = 81 となります。したがって r = ⁴√81 = 3 です（正の解を採用；技術的には項の符号が交互になる r = −3 も可能ですが、絶対値は一意に定まります）。

例3 — 発散する和： 級数 100 + 200 + 400 + ... + (第n項) において a = 100、r = 2 です。|r| = 2 > 1 であるため、無限和は発散します。任意の有限の n に対しては、Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1) を使用します。

現実世界での応用

• 複利。 n 回の複利計算後の残高は B = P × (1 + i)ⁿ です。これは a = P、r = (1 + i) の等比数列です。無限期間の和は発散するため（お金は永遠に増え続ける）、ここでは部分和のみが意味を持ちます。
• 人口増加。 P(t) = P₀ × eʳᵗ などの指数関数的成長モデルは、t が離散的なステップで測定されると等比数列になります。
• 放射性崩壊。 半減期による減衰は、r = 1/2 の等比数列です。
• コンピュータサイエンス。 配列サイズの2倍増、二分木の高さ、ネットワークプロトコルにおける幾何バックオフなどはすべて等比数列です。
• 音楽。 平均律における音符の周波数は、半音あたり r = ¹²√2 ≈ 1.0595 の等比数列を形成します。

よくある間違い

• 指数に n − 1 ではなく n を使う。 第1項は a × r⁰ = a であり、a × r¹ ではありません。指数は常に項の添字より1小さくなります。
• |r| ≥ 1 のときに無限和の公式を適用する。 その級数は発散します。有限の「無限和」は存在せず、部分和は無制限に増加します。
• 等比数列と等差数列を混同する。 等差数列は各ステップで一定の数を加算しますが、等比数列は一定の数を乗算します。これらは異なる数列の種類であり、異なる公式を持ちます。
• 負の数に対する幾何平均の計算。 GM = √(a × b) は、a と b の両方が非負（または両方が負で、その積の正の平方根を取る）の場合にのみ意味を持ちます。幾何平均の結果が負になることは定義されません。
• 部分和の公式と無限和の公式を混同する。 有限の n に対しては Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) を、収束する無限の場合は S∞ = a/(1 − r) を使用します。これらは置き換え可能ではありません。