Heron's Formula — Triangle Area from 3 Sides (with Examples)

三角形の3辺すべてがわかっていて、角度や高さが不明な場合、ヘロンの公式で面積を直接求められます。半周長sを計算し、それを1つの平方根に代入します。この公式は、不等辺三角形、二等辺三角形、正三角形、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のあらゆる三角形に適用できます。

公式

名前	公式	備考
半周長	`s = (a + b + c) / 2`	周長の半分。最初に計算し、その後面積公式に代入します。
ヘロンの公式	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a, b, c は3辺の長さ。古典的な形式（アレクサンドリアのヘロン、紀元60年頃）。
代数形式	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	等価な展開式 — 半周長のステップなし。
数値的に安定な形式	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	非常に細長い三角形で標準形式が精度を失う場合に使用（辺を a ≥ b ≥ c の順に並べる）。
三角不等式の確認	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	3つすべてが成立しなければなりません。そうでなければ三角形は存在せず、被開平数が負になります。
正三角形の特別な場合	`A = (√3 / 4) × a²`	a = b = c の場合。ヘロンの公式から導出：s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4。

ヘロンの公式とは何ですか？

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さa, b, cから、角度や高さを必要とせずに面積を計算します。まず半周長s = (a+b+c)/2を求め、次にA = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]とします。

ヘロンの公式はいつ使うべきですか？

3辺すべてがわかっているが（SSSの場合）、高さや角度がわからないときに使います。角度もわかっている場合は、½·a·b·sin(C)の公式の方が速いです。底辺と高さがわかっている場合は、単にA = ½·b·hを使います。

ヘロンの公式は直角三角形でも使えますか？

はい — 任意の三角形で使えます。3-4-5の直角三角形の場合：s = 6, A = √[6·3·2·1] = √36 = 6, これは½·3·4 = 6と一致します。

平方根の中が負の数になった場合はどうなりますか？

それは、その3辺が実際の三角形を形成できないことを意味します。三角不等式を確認してください：各辺は他の2辺の和より小さくなければなりません（a + b > c など）。

ヘロンの公式を発明したのは誰ですか？

アレクサンドリアのヘロンが紀元60年頃、著書『Metrica』で証明しました。アルキメデスはそれ以前に知っていた可能性があります。現代の証明では座標や余弦定理が使われます。