2つの三角形は、同じ形状 AND 同じサイズを持つ場合に合同です — 対応する辺が等しく、対応する角が等しいです。合同を証明するための5つの標準的な方法があり、正しいものを選ぶのは与えられた情報によります。このガイドでは、すべての5つの方法を作業例と一般的な落とし穴とともに説明します。
各方法は必要なものを指定します。各名前のパターン：各文字は「S」（辺が等しい与えられる）または「A」（角が等しい与えられる）です。
欠けているものを注意： SSA公準はありません（「ろばの定理」 — 常に機能しない、同じSSAが2つの異なる三角形に適合する可能性があるため）。またAAA公準もありません — 等しい角は三角形を相似にするだけで、合同にはしません。
1つの三角形の3つの辺すべてが別の三角形の3つの辺すべてに等しい場合、三角形は合同です。対応させる際の順序が重要：一方の最長辺は他方の最長辺に等しくなければなりません。
例。 三角形ABCはAB = 5、BC = 7、CA = 6。三角形DEFはDE = 5、EF = 7、FD = 6。SSSにより、△ABC ≅ △DEF。
使用するタイミング： 3つの辺の長さがすべてあり、角の情報がない場合。測量、製図、剛性フレーム工学の証明で一般的です。
2つの辺とそれらの間の角が等しい場合、三角形は合同です。角は必ず2つの与えられた辺の間のもの（包含されたもの）でなければ、証明が崩れます。
例。 △ABC：AB = 8、∠B = 50°、BC = 10。△DEF：DE = 8、∠E = 50°、EF = 10。SASにより（50°の角は両方で8と10の辺の間）、△ABC ≅ △DEF。
一般的なミス： SSAを使用 — 2つの辺と非包含角。これは有効な公準ではありません（SSAは2つの異なる三角形を生む可能性があり、「曖昧な場合」）。常に角が2つの辺の間に挟まれているかを確認してください。
2つの角とそれらの間の辺が等しい場合、三角形は合同です。3番目の角は自動的に決定されます（三角形の角の和は180°）、残りの辺は正弦定理から従います。
例。 △ABC：∠A = 40°、AB = 6、∠B = 80°。△DEF：∠D = 40°、DE = 6、∠E = 80°。ASAにより、△ABC ≅ △DEF。
証明でASAが現れるタイミング： 並行線が交代内角や対応角を「無料」で与え、1つの共有/与えられた辺がある場合にしばしば。これは並行線や横断線を含む教科書の証明で最も一般的な公準です。
ASAに似ていますが、辺は2つの与えられた角の間にありません。それでも有効です。なぜなら2つの角が固定されると3番目も固定され、1つの辺がサイズを固定するからです。
例。 △ABC：∠A = 30°、∠B = 70°、BC = 9。△DEF：∠D = 30°、∠E = 70°、EF = 9。AASにより、△ABC ≅ △DEF。
ASA vs AAS： 唯一の違いは等しい辺が2つの等しい角の間に位置するかどうかです。ASA：包含辺。AAS：非包含辺。両方とも合同を証明します。一部の教科書では「AAS/ASA」として組み合わせます。
直角三角形のみ。1つの直角三角形の斜辺と1つの脚が別の直角三角形の斜辺と1つの脚に等しい場合、三角形は合同です。
例。 直角△ABCは∠C = 90°、斜辺AB = 13、脚BC = 5。直角△DEFは∠F = 90°、斜辺DE = 13、脚EF = 5。HLにより、△ABC ≅ △DEF。
HLが特別な理由： それは実質的にSSAです — しかし1つの角が90°であることを知っているため、曖昧な場合が発生しません。3番目の辺はピタゴラスの定理で決定されます（この例では12）、したがって斜辺 + 脚が一致するとすべてが一致します。
これらのいずれも有効な合同公準ではありません：