多角形辺計算機

多角形の辺数計算機は、標準的な多角形角度の問題の逆を行います。つまり、「n個の辺が与えられたら内角の和を求めよ」ではなく、「内角の和（または正多角形の一つの内角）が与えられたら、その多角形の辺数はいくつか？」を問います。これらの逆算は同じ恒等式から導かれます。本チュートリアルでは、この恒等式を初めから導出し、3つのworked example（解付き例題）を通じて解説します。

基本となる恒等式

任意の凸多角形で、辺の数を n とすると：

内角の和 S = (n − 2) × 180°

理由：多角形の任意の頂点を選び、そこから隣接しない他の頂点へ対角線をすべて引きます。これにより、多角形はちょうど (n − 2) 個の重ならない三角形に分割されます（3角形→1個の三角形、4角形→2個、5角形→3個など）。各三角形の内角の和は 180° であるため、多角形の内角の和は (n − 2) × 180° となります。

関連する恒等式：外角の和は常に 360° です（n に依存しません）。（各外角 = 180° − 対応する内角。合計すると：n × 180° − (n − 2) × 180° = 2 × 180° = 360°。）

逆算1：S から n を求める（任意の多角形）

S = (n − 2) × 180° を n について解きます：

n = S / 180° + 2  （または同値な形 n = (S + 360°) / 180°）

例1： S = 1080° のとき。n = 1080 / 180 + 2 = 6 + 2 = 8辺 （八角形）。

例2： S = 3240° のとき。n = 3240 / 180 + 2 = 18 + 2 = 20辺 （二十角形）。

この逆算は、正多角形でも不規則多角形でも適用可能です。なぜなら、内角の和に関する恒等式は普遍的に成り立つからです。

逆算2：一つの内角から n を求める（正多角形のみ）

正多角形（すべての辺と角が等しい）では、一つの内角 = (n − 2) × 180° / n です。これを n について解きます：

n = 360° / (180° − 一つの内角)

導出： 一つの内角を i とします。すると i = (n − 2) × 180° / n → n·i = 180n − 360 → 360 = n(180 − i) → n = 360 / (180 − i)。

例3： i = 135° のとき。n = 360 / (180 − 135) = 360 / 45 = 8辺 （正八角形）。

例4： i = 144° のとき。n = 360 / 36 = 10辺 （正十角形）。

例5： i = 60° のとき。n = 360 / 120 = 3辺 （正三角形 — 内角が 60° である唯一の正多角形）。

妥当性チェック

• n は 3 以上の整数でなければなりません。 計算結果が n = 4.7 や n = 2.3 となった場合、入力は不正です。4.7辺を持つ多角形は存在せず、3辺未満の「多角形」も存在しません。
• 凸正多角形における一つの内角は (60°, 180°) の範囲にあります。 60° 未満 → 閉じるのに頂点が足りない。180° に等しい → 多角形ではない（直線）。180° に近づく → 非常に多くの辺（例：175° → 72辺）。
• 内角の和は n に比例して線形に増加します。 辺が1つ増えるごとに、S にはちょうど 180° が加わります。簡単な検算：五角形 = 540°、六角形 = 720°、七角形 = 900°。

よくある間違い

• 「+ 2」を忘れた「n = S / 180」を使用する。 恒等式は (n − 2) × 180 であるため、逆算では 2 を加えます。+ 2 を忘れると、n を 2 少なく見積もることになります。
• 不規則多角形に対して「一つの内角」の公式を適用する。 n = 360 / (180 − i) は、すべての内角が等しい場合（正多角形）にのみ有効です。不規則多角形の場合、すべての内角の合計を用いて内角の和からの逆算を行う必要があります。
• 内角と外角を混同する。 各外角 = 180° − 各内角です。もし入力が外角の場合（例：「外角 45°」）、まず変換します：i = 180° − 45° = 135°、その後公式を適用します。
• 凹多角形を扱う。 この恒等式は凸多角形（内角が 180° を超えない）を前提としています。凹多角形や自己交差する多角形の場合は、まず凸多角形の集合に分解してください。

別の計算機を使用すべき場合

• 順方向（n → S または n → 一つの内角）を求める場合は、多角形の内角の和計算機 を使用してください。
• n と一辺の長さから正多角形の面積・周長・頂点座標を求める場合は、多角形ハブ 内の標準的な多角形の面積ツールを参照してください。
• 座標から不規則多角形の内角または外角を計算する場合は、シューレース公式と内角の組み合わせアプローチが座標ベースの計算機 にあります。