Der Satz des Pythagoras — a² + b² = c² — ist die nützlichste einzelne Gleichung in der Geometrie. Er verbindet die beiden Katheten (a, b) und die Hypotenuse (c) eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks. Dieser Leitfaden führt durch 10 gelöste Beispiele in zunehmender Schwierigkeit, von "Hypotenuse finden" bis hin zu angewandten 3D-Distanzen und Pythagoreischen Tripeln.
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten:
a² + b² = c²
worin a und b die Katheten (die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden) und c die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel, immer die längste) sind.
Die Katheten sind 3 und 4. Finden Sie die Hypotenuse.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also c = 5.
Dies ist das berühmte 3-4-5-Dreieck — das kleinste Pythagoreische Tripel.
Die Katheten sind 2 und 3.
c² = 4 + 9 = 13, also c = √13 ≈ 3.61.
Die meisten realen rechtwinkligen Dreiecke ergeben irrationale Hypotenusen. Lassen Sie Lösungen als √n stehen, es sei denn, Dezimalwerte werden gefordert.
Die Hypotenuse ist 13, eine Kathete ist 5. Finden Sie die andere.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, also b = 12.
Dies ist das 5-12-13-Tripel. Merken Sie es sich — es taucht ständig in Lehrbüchern auf.
Eine Kathete ist 6.5, die andere ist 7.5. Finden Sie die Hypotenuse.
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, also c ≈ 9.92.
Eine 10-Fuß-Leiter lehnt an einer Wand. Der Fuß steht 6 Fuß von der Wand entfernt. Wie hoch erreicht sie die Wand?
Die Leiter ist die Hypotenuse, die Wand und der Boden sind die Katheten.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, also h = 8 Fuß.
Ein TV wird als "55 Zoll" (Diagonale) beworben. Die Breite beträgt 48 Zoll. Wie hoch ist er?
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, also h ≈ 26.85 Zoll.
Finden Sie den Abstand von (1, 2) zu (4, 6).
Horizontale Kathete = 4 − 1 = 3.
Vertikale Kathete = 6 − 2 = 4.
Abstand² = 3² + 4² = 25, also Abstand = 5.
Dies ist die Abstandsformel in Verkleidung — es IST der Satz des Pythagoras angewandt auf die Koordinatengeometrie.
Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei C. AC = 5, BC = 12. Punkt D liegt auf AB so, dass CD ⊥ AB. Finden Sie CD.
Zuerst AB mit Pythagoras finden: AB² = 25 + 144 = 169, also AB = 13.
Nun den Flächen-Gleichheits-Trick verwenden: ½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615.
Ein rechteckiger Kasten hat Länge 4, Breite 3, Höhe 12. Finden Sie seine Raumdiagonale (von Ecke zu gegenüberliegender Ecke).
Zuerst die Bodendiagonale d finden: d² = 4² + 3² = 25, also d = 5.
Nun Pythagoras erneut anwenden, mit d als einer Kathete und Höhe als der anderen:
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, also D = 13.
Das Muster: D = √(l² + w² + h²). Der 4-3-12-Kasten ergibt eine saubere 13, weil 3-4-5 und 5-12-13 beide Tripel sind, die verkettet werden.
Für beliebige Ganzzahlen m > n > 0 erzeugen die Formeln a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² ein Pythagoreisches Tripel.
Mit m = 3, n = 2: a = 5, b = 12, c = 13 → das (5, 12, 13)-Tripel.
Mit m = 4, n = 1: a = 15, b = 8, c = 17 → das (8, 15, 17)-Tripel.
Die ersten 8 primitiven Pythagoreischen Tripel (a, b, c) mit gcd(a,b,c)=1: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61). Das Erkennen dieser spart Ihnen, Pythagoras jedes Mal durchzurechnen.
Der Rechner für rechtwinklige Dreiecke behandelt all diese Muster automatisch. Für 3D-Abstandsprobleme (wie Beispiel 9) verknüpft der 3D-Satz-des-Pythagoras-Rechner den Satz zweimal in einem Schritt.
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