표준 기하학의 모든 3D 입체 — 큐브, 직육면체 (상자), 원기둥, 구, 원뿔, 사각 피라미드 — 는 한 줄 부피 공식과 한 줄 표면적 공식을 가집니다. 이를 외우면 학교 3D 문제의 95%를 다룰 수 있습니다. 이 가이드는 예제 풀이와 함께 모든 공식을 한 곳에 모았습니다.
| 입체 | 부피 (V) | 표면적 (SA) |
|---|---|---|
| 큐브 (변 s) | s³ | 6s² |
| 직육면체 (l, w, h) | l × w × h | 2(lw + lh + wh) |
| 원기둥 (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| 구 (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| 원뿔 (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, 여기서 l = √(r² + h²) |
| 사각 피라미드 (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · slant_height |
| 삼각 프리즘 (B, h) | B × h (B = 삼각형 면적) | 2B + 둘레 × h |
가장 간단한 3D 도형 — 모든 12개의 변이 같고, 6개의 정사각형 면이 있습니다.
예제: 변이 4 cm인 큐브: V = 64 cm³, SA = 96 cm², 대각선 = 4√3 ≈ 6.93 cm.
길이 l, 너비 w, 높이 h. 실생활에서 가장 흔한 3D 입체 (방, 상자, 수영장).
예제: 8 × 5 × 3 상자: V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9.90.
두 개의 원형 밑면 (반지름 r)이 곡선 측면으로 연결된, 높이 h.
예제: 원기둥 r = 3, h = 10: V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282.74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245.04.
가장 간단한 3D 도형 — 반지름만으로 정의됩니다. 부피와 표면적 모두 r에만 의존합니다.
예제: 지름 24 cm인 농구공은 r = 12. V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm².
한 개의 원형 밑면 (반지름 r)이 한 점으로 좁아지는, 높이 h. 표면적이 수직 높이가 아닌 사선 높이를 사용하므로 가장 까다로운 부분입니다.
예제: 원뿔 r = 6, h = 8. 사선 l = √(36 + 64) = √100 = 10. V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301.59 cm².
사각형 밑면 (변 b)이 한 점으로 좁아지는, 수직 높이 h.
기하학의 멋진 사실 중 하나: 동일한 밑면과 높이를 가진 원뿔과 원기둥 — 원뿔의 부피는 원기둥의 정확히 1/3입니다. 물로 실험하여 확인할 수 있습니다: 원뿔 모양 용기를 채운 후 동일한 치수의 원기둥에 붓기 — 정확히 3번의 원뿔 양이 필요합니다. 동일한 밑면 + 높이를 가진 피라미드 대 프리즘에도 적용됩니다.
두 가지 유도 방법: (1) 디스크 조각의 미적분 적분, (2) 원뿔이 제거된 원기둥과의 카발리에리 원리 비교. "(4/3)"은 −r에서 r까지 평가된 ∫(πr² − πx²) dx 적분에서 나옵니다.