사다리꼴(영국 영어에서는 "trapezium"이라고 불림)은 적어도 한 쌍의 평행한 변을 가진 사각형입니다. 그 넓이 공식은 다음과 같습니다:
A = ½(b₁ + b₂)h
여기서 b₁과 b₂는 두 평행한 변(밑변)의 길이이고, h는 그 사이의 수직 거리(높이)입니다. 이 가이드는 공식을 기하학적으로 증명하고, 4개의 풀이된 예제를 단계별로 설명하며, 등변사다리꼴과 영국식 "trapezium" 용어 혼동과 같은 특수한 경우를 다룹니다.
사다리꼴은 네 개의 변을 가집니다. 정확히 두 개가 평행한데, 이것이 밑변이며 관례에 따라 b₁(더 긴 변)과 b₂(더 짧은 변)으로 표시합니다.
나머지 두 변은 옆변입니다. 일반적인 사다리꼴에서 옆변들은 서로 평행하지 않습니다. 만약 평행하다면 그 도형은 평행사변형이 됩니다.
높이 h는 두 평행한 변 사이의 수직 거리이며, 옆변을 따라 측정하는 것이 아니라 직선으로 측정됩니다.
간단한 시각적 증명: 사다리꼴과 동일한 두 개를 가져와 하나를 뒤집고 옆변을 따라 합칩니다. 결합된 도형은 밑변이 (b₁ + b₂)이고 높이가 h인 평행사변형입니다. 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이 = (b₁ + b₂) × h입니다. 이것이 원래 사다리꼴 두 개를 포함하므로, 사다리꼴 하나의 넓이는 절반: (b₁ + b₂) × h / 2입니다.
대안적 증명: 대각선으로 사다리꼴을 두 개의 삼각형으로 자릅니다. 하나의 삼각형은 밑변 b₁, 높이 h(넓이 = ½ × b₁ × h)를 가집니다. 다른 삼각형은 밑변 b₂, 높이 h(넓이 = ½ × b₂ × h)를 가집니다. 합산: ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h.
어느 쪽이든 공식은 깔끔하게 도출됩니다.
사다리꼴의 평행한 변이 8 cm와 12 cm이고, 그 사이의 수직 거리가 5 cm입니다.
A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm².
사다리꼴의 넓이가 60 cm²이고 밑변이 8 cm와 12 cm입니다. 높이를 구하세요.
60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm
공식을 깔끔하게 재배열하면: h = 2A / (b₁ + b₂).
등변사다리꼴의 밑변이 6과 10이고, 비스듬한 옆변의 길이가 5입니다. 넓이를 구하세요.
등변사다리꼴은 길이가 같은 두 옆변을 가집니다. 대칭성에 의해, 짧은 밑변의 양 끝점에서 긴 밑변으로 수선을 내리면, 양 끝에서 합동인 두 직각삼각형을 잘라냅니다. 각 삼각형은 빗변 5(옆변)와 수평 변 (10 − 6) / 2 = 2를 가집니다.
피타고라스 정리에 의해, 높이(수직 변)는 h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4.58입니다.
넓이 = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36.66 cm².
사다리꼴의 꼭짓점이 (0, 0), (6, 0), (4, 3), (1, 3)에 있습니다. 넓이를 구하세요.
밑변은 두 수평 선분입니다 (두 점 쌍 모두 y값이 일치하므로). 윗밑변: (1, 3)에서 (4, 3)까지 길이 3. 아랫밑변: (0, 0)에서 (6, 0)까지 길이 6. 높이: y = 0과 y = 3 사이의 수직 거리 h = 3.
A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13.5 제곱 단위.
넓이 공식은 이 세 가지 유형 모두에 적용됩니다 — 밑변의 길이와 높이만 중요합니다.
미국 영어에서는 trapezoid는 적어도 한 쌍의 평행한 변을 가지며, trapezium는 평행한 변이 없는 사각형입니다.
영국 영어에서는 (그리고 미국 외 대부분의 세계에서는) 의미가 반대입니다: trapezium는 적어도 한 쌍의 평행한 변을 가지며, trapezoid는 평행한 변이 없습니다.
교과서나 논문을 읽을 때, 어떤 관례를 사용하는지 확인하십시오. 공식 A = ½(b₁ + b₂)h는 평행한 변을 가진 도형에 적용됩니다 — 원본에서 그것을 어떤 이름으로 부르든 상관없이.
대부분의 현대 미국 교과서는 포함적 정의를 사용합니다: 사다리꼴은 적어도 한 쌍의 평행한 변을 가집니다. 이 정의에 따르면, 평행사변형은 사다리꼴의 특수한 경우입니다 (두 쌍을 가짐).
더 오래된 배타적 정의는 정확히 한 쌍의 평행한 변을 요구하여, 평행사변형을 배제했습니다. 대부분의 현대 기하학은 정리와 공식을 더 일반적으로 만들기 때문에 포함적 정의를 사용합니다.
네 변이 모두 주어진 사다리꼴 넓이 문제의 경우, 사다리꼴 계산기를 사용하십시오. 도형이 반드시 사다리꼴일 필요가 없는 일반적인 "임의의 사각형의 넓이" 경우, 임의의 다각형 넓이를 참조하십시오. 관련된 평행사변형 (양쪽 변 쌍 모두 평행한 사다리꼴)의 경우, 평행사변형 계산기를 참조하십시오.
사다리꼴의 네 변만 주어졌을 때 어떻게 넓이를 구하나요? 높이 또는 그것을 유도할 수 있는 충분한 정보가 필요합니다. 수직 높이 없이 네 변이 주어진 경우, 대각선 길이를 사용하거나, 사다리꼴이 등변이거나 직각이 있는 경우 피타고라스 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. 네 변 길이만으로 임의의 사다리꼴의 경우, 넓이는 유일하게 결정되지 않습니다.
사다리꼴과 평행사변형의 차이점은 무엇인가요? 평행사변형은 마주보는 두 변 쌍 모두 평행합니다. 사다리꼴(미국식)은 적어도 한 쌍이 평행합니다. 포함적 정의에 따르면, 모든 평행사변형은 사다리꼴입니다; 배타적 정의에 따르면, 평행사변형은 사다리꼴이 아닙니다.
정사각형 사다리꼴의 넓이는 무엇인가요? "정사각형 사다리꼴"은 표준 용어가 아닙니다 — 대부분의 사다리꼴은 다각형 의미에서 정다면체가 아닙니다 (정다면체만이 모든 변과 각이 같고, 이것은 평행사변형이나 그 이상인 정사각형이 됩니다). "등변사다리꼴"이라는 말을 들었을 수 있습니다 — 위의 섹션을 참조하십시오.