사다리꼴 계산기

사다리꼴(영국 영어에서는 trapezium이라 하고, 혼란스럽게도 미국 영어에서는 "trapezium"이 평행변이 없는 사각형을 지칭함)은 적어도 한 쌍의 평행변을 가진 네 변으로 이루어진 도형입니다. 평행변을 밑변(b₁ 및 b₂)이라 하고, 그 사이의 수직 거리를 높이(h)라고 합니다. 이 튜토리얼은 이 계산기가 처리하는 세 가지 하위 유형(일반, 이등변, 직각)을 다루며, 3개의 풀이 예제를 통해 설명합니다.

보편적인 넓이 공식

넓이 = ½ × (b₁ + b₂) × h. 이 공식은 유형과 관계없이 모든 사다리꼴에 적용됩니다. 직관적인 이해: 두 밑변의 평균(즉, '평균 너비')을 구한 후 높이를 곱하면 됩니다. 사다리꼴은 너비가 (b₁+b₂)/2이고 높이가 h인 직사각형과 본질적으로 동일합니다.

예제 1 — 일반 사다리꼴: b₁ = 8, b₂ = 4, h = 3. 넓이 = ½ × (8 + 4) × 3 = ½ × 12 × 3 = 18. 중위선 m = (b₁ + b₂) / 2 = 6.

이등변 사다리꼴 (평행변이 아닌 변의 길이 동일)

이등변 사다리꼴은 두 평행변이 아닌 변(측변)의 길이가 같습니다. 이로 인해 두 가지 추가 성질이 성립합니다: 대각선의 길이 동일 및 밑각의 크기 동일. 밑변과 한 측변의 길이만 알려져 있을 때 높이는 다음과 같이 유도됩니다:

h = √(leg² − ((b₁ − b₂) / 2)²)

유도 과정: b₂의 양 끝점에서 b₁로 수선을 내립니다. 이렇게 하면 양쪽에 직각삼각형이 생성되며, 각 삼각형의 빗변은 측변(leg)이고 수평변은 (b₁ − b₂) / 2입니다. 피타고라스 정리에 의해 수직변(높이) h를 구할 수 있습니다.

예제 2 — 이등변 사다리꼴: b₁ = 10, b₂ = 6, leg = 5. h = √(25 − ((10−6)/2)²) = √(25 − 4) = √21 ≈ 4.58. 넓이 = ½ × 16 × 4.58 ≈ 36.66. 둘레 = 10 + 6 + 2×5 = 26.

직각 사다리꼴 (인접한 두 직각을 가짐)

직각 사다리꼴은 인접한 두 직각을 가지므로, 평행변이 아닌 변 중 하나가 두 밑변에 모두 수직입니다. 이 수직 측변이 바로 높이입니다 — 별도의 유도 과정이 필요하지 않습니다. 비스듬한 측변은 피타고라스 정리를 통해 구할 수 있습니다:

비스듬한 측변 = √(h² + (b₁ − b₂)²)

예제 3 — 직각 사다리꼴: b₁ = 12, b₂ = 7, 수직 측변 = h = 4. 비스듬한 측변 = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.40. 넓이 = ½ × 19 × 4 = 38. 둘레 = 12 + 7 + 4 + 6.40 = 29.40.

중위선

중위선은 두 평행변이 아닌 변의 중점을 연결합니다. 중위선은 항상 밑변과 평행하며, 두 밑변 사이에 정확히 중간에 위치하고, 그 길이는 밑변의 평균입니다: m = (b₁ + b₂) / 2. 이는 단순한 상식이 아닙니다. 중위선은 넓이를 m × h (즉, ½(b₁+b₂)h 대신)로 계산할 수 있게 해주는 기하학적 기준선으로, 유용한 검증 방법으로 작용합니다.

대각선

일반 사다리꼴의 대각선에는 간단한 닫힌 형태(closed form)가 없습니다(내각 등 추가 입력이 필요함). 이등변 사다리꼴의 경우 두 대각선의 길이가 같습니다 — 이는 많은 증명에서 사각형을 이등변 사다리꼴로 식별하는 데 사용되는 정의적 성질입니다. 직각 사다리꼴의 경우 두 대각선의 길이는 일반적으로 다르며, 밑변과 이루는 직각삼각형을 이용하여 각각 계산합니다.

내각

모든 사다리꼴의 내각의 합은 360°입니다(모든 사각형에 해당). 또한, 각 평행변이 아닌 변에 있는 두 내각은 평행한 밑변 사이에서 동측내각을 이루며, 그 합은 180°입니다. 따라서 한 변의 한 각을 알면 다른 각도 알 수 있습니다(180° − 해당 각). 이등변 사다리꼴의 경우, 각 밑변 위의 두 밑각은 서로 같습니다.

흔한 실수

• 미국식 vs 영국식 "trapezoid" 혼동. 미국식 "trapezoid" = 적어도 한 쌍의 평행변을 가짐. 영국식 "trapezium" = 동일한 의미. 미국식 "trapezium" = 평행변이 없음(드문 용어). 이 계산기는 미국식 관례를 사용합니다.
• 밑변과 측변 혼동. 밑변은 두 평행변을 말하며, 측변은 두 평행변이 아닌 변을 말합니다. 항상 먼저 밑변을 식별하십시오 — 넓이 공식에는 측변의 합이 아닌 밑변의 합이 필요합니다.
• 비스듬한 측변을 높이로 사용. 높이는 항상 두 밑변 사이의 수직 거리입니다. 직각 사다리꼴에서만 측변이 높이가 되며, 일반/이등변 사다리꼴에서는 h를 별도로 계산해야 합니다.
• 중위선 = 밑변의 평균임을 잊음. 일부 학생들은 m = b₁ − b₂를 사용하지만(아니요 — 그것은 수평 오프셋입니다), 항상 (b₁ + b₂) / 2입니다.

다른 계산기를 사용해야 할 때

• 이등변 사다리꼴 문제만 다루는 경우, 전용 이등변 사다리꼴 계산기가 측변의 대칭성을 자동으로 가정하여 채워줍니다.
• 수직 측변이 주어진 직각 사다리꼴 문제의 경우, 직각 사다리꼴 계산기가 유형 선택기를 건너뜁니다.
• 사다리꼴 각도 문제(주어진 제약 조건에서 모든 4개의 내각을 찾는 경우)는 사다리꼴 각도 계산기를 참조하십시오.
• 4개의 꼭짓점 좌표로 정의된 사다리꼴의 경우, Shoelace 공식을 사용한 사각형 도형 계산기를 사용하십시오.