円の幾何 — 面積、円周、扇形、弧、方程式
[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator が監修 最終更新 May 8, 2026
円の面積 = π × r² (A = πr²)、ここで r は半径です。円の周長（円周とも呼ばれる） = 2π × r = π × d、ここで d は直径です。これら2つに d = 2r を加えた3つが、すべての円の問題を解くための基本公式です。以下に、面積、周長/円周、半径、直径、弧の長さ、扇形の面積、弦の長さ、弓形の面積、円周角の定理、解析幾何における円の方程式の13の公式をすべて示します。それぞれに例題が付いています。
| 名前 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 面積（半径から） | A = π × r² |
r = 半径。古典的な「円の面積の公式」。 |
| 面積（直径から） | A = π × d² / 4 |
直径のみがわかっている場合に使用。A = πr² に r = d/2 を代入して導出。 |
| 円周 | C = 2π × r = π × d |
円の周長の公式とも呼ばれる。両方の名称はこれを指す。 |
| 円の周長 | P = 2π × r |
円周と同じ。円において「周長」と「円周」は同義語。 |
| 直径 | d = 2 × r |
半径の2倍。円周がわかっている場合は d = C/π でも求まる。 |
| 半径（面積から） | r = √(A / π) |
A = πr² の逆。面積が与えられたときに有用。 |
| 半径（円周から） | r = C / (2π) |
C = 2πr の逆。実世界の測定でよく使われる。 |
| 扇形の面積 | A_s = ½ × r² × θ |
θ はラジアン。度数の場合: A_s = (θ°/360) × πr²。 |
| 弧の長さ | L = r × θ |
θ はラジアン。度数の場合：L = (θ°/360) × 2πr。 |
| 弦の長さ | c = 2r × sin(θ/2) |
θ = 弦に対する中心角。内接図形に有用。 |
| 弓形の面積 | A_seg = ½ × r² × (θ − sin θ) |
θ はラジアン。弦と弧の間の領域。 |
| 円周角 | ∠inscribed = ½ × ∠central |
円周角は同じ弧を見込む中心角の半分。 |
| 円の方程式 | (x − h)² + (y − k)² = r² |
中心 (h, k)、半径 r。解析幾何の標準形。 |