ピタゴラスの定理 — a² + b² = c² — は、幾何学で最も有用な単一の式です。それは任意の直角三角形の二つの辺（a, b）と斜辺（c）を関連付けます。このガイドは、難易度順に10の演習例を解説します。「斜辺を求める」から応用的な3D距離とピタゴラス三つ組まで。
任意の直角三角形において、斜辺の二乗は二つの辺の二乗の和に等しい：
a² + b² = c²
ここで a と b は辺（直角を形成する二つの辺）で、c は斜辺（直角と反対側の辺で、常に最長）です。
辺は3と4です。斜辺を求めよ。
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, so c = 5。
これは有名な3-4-5三角形 — 最小のピタゴラス三つ組です。
辺は2と3です。
c² = 4 + 9 = 13, so c = √13 ≈ 3.61。
実際の直角三角形のほとんどは無理数斜辺を生じます。十進数に変換するよう指定されない限り、√nの形で答えを残します。
斜辺は13、一方の辺は5です。他方を求めよ。
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, so b = 12。
これは5-12-13三つ組です。これを覚えておきましょう — 教科書で頻出します。
一つの辺は6.5、他方は7.5です。斜辺を求めよ。
c² = 42.25 + 56.25 = 98.5, so c ≈ 9.92。
10フィートの梯子が壁に寄りかかっています。基部は壁から6フィート離れています。壁の上部までどれだけ届くか？
梯子は斜辺、壁と地面は辺です。
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, so h = 8 feet。
TVは「55インチ」（対角線）と広告されています。幅は48インチです。高さは？
h² = 55² − 48² = 3025 − 2304 = 721, so h ≈ 26.85 inches。
(1, 2)から(4, 6)までの距離を求めよ。
水平辺 = 4 − 1 = 3。
垂直辺 = 6 − 2 = 4。
距離² = 3² + 4² = 25, so distance = 5。
これは距離公式の変装です — 座標幾何学に適用したピタゴラスの定理そのものです。
三角形ABCはCで直角です。AC = 5, BC = 12。点DはAB上にあるがCD ⊥ AB。CDを求めよ。
まずピタゴラスでABを求める：AB² = 25 + 144 = 169, so AB = 13。
次に面積等式のトリックを使用：½ · AC · BC = ½ · AB · CD
5 · 12 = 13 · CD
CD = 60/13 ≈ 4.615。
長方形の箱の長さ4、幅3、高さ12です。その空間対角線（対角の角から反対角まで）を求めよ。
まず床の対角線dを求める：d² = 4² + 3² = 25, so d = 5。
次にdを一つの辺、高さを他方の辺としてピタゴラスを適用：
D² = d² + h² = 25 + 144 = 169, so D = 13。
パターン：D = √(l² + w² + h²)。4-3-12箱は3-4-5と5-12-13の両方が連鎖する三つ組のため、きれいな13を与えます。
任意の整数m > n > 0に対し、式a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n²はピタゴラス三つ組を生じます。
m = 3, n = 2の場合：a = 5, b = 12, c = 13 → (5, 12, 13)三つ組。
m = 4, n = 1の場合：a = 15, b = 8, c = 17 → (8, 15, 17)三つ組。
最初の8つの原始ピタゴラス三つ組 (a, b, c) でgcd(a,b,c)=1：(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), (20,21,29), (9,40,41), (12,35,37), (11,60,61)。これらを認識すれば、毎回ピタゴラスを実行する必要がなくなります。
直角三角形計算機はこれらのパターンをすべて自動的に処理します。3D距離問題（例9のような）の場合、3Dピタゴラスの定理計算機は定理を一回のステップで二回連鎖します。