Section Formula — Internal & External Line Division

Q: Was ist die Teilungsformel?

Die Teilungsformel bestimmt die Koordinaten eines Punktes P, der eine Strecke AB im Verhältnis m:n teilt. Für die innere Teilung gilt: P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n)). Die Mittelpunktsformel ist der Spezialfall m = n = 1.

Q: Was ist innere vs. äußere Teilung?

Bei der inneren Teilung liegt P zwischen A und B (m und n beide positiv). Bei der äußeren Teilung liegt P außerhalb der Strecke auf der Verlängerung von AB. Für die äußere Teilung verwendet die Formel Subtraktion: P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), …).

Q: Wie finde ich den Schwerpunkt eines Dreiecks?

Der Schwerpunkt G ist der Mittelwert der drei Eckpunkte: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, gemessen vom Eckpunkt, was die Teilungsformel bestätigt.

Q: Kann die Teilungsformel das Verhältnis bei gegebenem Punkt bestimmen?

Ja – umstellen zu k = AP/PB = (x − x₁)/(x₂ − x). Dieselbe Formel gilt für die y-Koordinate; beide sollten denselben k ergeben, wenn P tatsächlich auf der Strecke AB liegt.

Q: Funktioniert es in 3D?

Ja – füge einfach die z-Koordinate mit derselben Logik hinzu: P_z = (m·z₂ + n·z₁)/(m+n). Alles andere bleibt identisch.

Die Teilungsformel gibt die Koordinaten eines Punktes an, der eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis m:n teilt. Bei der inneren Teilung liegt der Punkt zwischen A und B; bei der äußeren Teilung liegt er außerhalb der Strecke auf der Verlängerung von AB. Die Mittelpunktsformel ist der Spezialfall m = n = 1.

Die Formeln

Name	Formel	Hinweise
Innere Teilung (2D)	`P = ((m·x₂ + n·x₁) / (m + n), (m·y₂ + n·y₁) / (m + n))`	P teilt A(x₁, y₁) → B(x₂, y₂) innerlich im Verhältnis m:n. P liegt zwischen A und B.
Äußere Teilung (2D)	`P = ((m·x₂ − n·x₁) / (m − n), (m·y₂ − n·y₁) / (m − n))`	P liegt auf der Verlängerung von AB über B hinaus (oder über A hinaus, wenn m < n). m ≠ n.
Mittelpunktformel	`M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)`	Spezialfall m = n = 1 der inneren Teilungsformel.
Schwerpunkt eines Dreiecks	`G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)`	Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Mittelwert der drei Eckpunkte.
Teilungsformel (3D)	`P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n), (mz₂+nz₁)/(m+n))`	Gleiche Logik in drei Dimensionen – die z-Koordinate hinzufügen.
Verhältnis aus Koordinaten	`k = AP / PB = (x − x₁) / (x₂ − x)`	Umkehrung: Gegeben der Teilungspunkt, finde das Verhältnis. Dieselbe Formel gilt für y.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Innere Teilung von A(2, 3) und B(8, 9) im Verhältnis 2:1

x = (2·8 + 1·2) / (2 + 1) = 18 / 3 = 6
y = (2·9 + 1·3) / (2 + 1) = 21 / 3 = 7
P = (6, 7)

Beispiel 2: Äußere Teilung von A(1, 2) und B(4, 8) im Verhältnis 3:1

x = (3·4 − 1·1) / (3 − 1) = 11 / 2 = 5.5
y = (3·8 − 1·2) / (3 − 1) = 22 / 2 = 11
P = (5.5, 11) — on AB extended beyond B

Beispiel 3: Mittelpunkt von A(−2, 4) und B(6, −2)

M = ((−2 + 6)/2, (4 + (−2))/2)
M = (4/2, 2/2) = (2, 1)

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Teilungsformel?

Die Teilungsformel bestimmt die Koordinaten eines Punktes P, der eine Strecke AB im Verhältnis m:n teilt. Für die innere Teilung gilt: P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n)). Die Mittelpunktsformel ist der Spezialfall m = n = 1.

Was ist innere vs. äußere Teilung?

Bei der inneren Teilung liegt P zwischen A und B (m und n beide positiv). Bei der äußeren Teilung liegt P außerhalb der Strecke auf der Verlängerung von AB. Für die äußere Teilung verwendet die Formel Subtraktion: P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), …).

Wie finde ich den Schwerpunkt eines Dreiecks?

Der Schwerpunkt G ist der Mittelwert der drei Eckpunkte: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, gemessen vom Eckpunkt, was die Teilungsformel bestätigt.

Kann die Teilungsformel das Verhältnis bei gegebenem Punkt bestimmen?