等比数列 vs 等比級数の公式：どちらをいつ使うか

等比数列は、各項が前の項に固定の数である公比 (r)を掛けた数のリストです。等比級数はそれらの項の和です。必要な2つの公式はシンプルですが、どちらをいつ使うか — そして無限バージョンの収束条件 — を知ることが学生を困らせる点です。

2つの基本公式

等比数列 — n番目の項

aₙ = a × rⁿ⁻¹

ここで a は初項、r は公比、n は求めたい項 (1, 2, 3, ...) です。

例: 2, 6, 18, 54, ... では a = 2, r = 3 なので a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。

等比級数 — 最初のn項の和

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r), r ≠ 1 の場合に有効

r = 1 の場合、各項が a に等しいので、単に掛ける: Sₙ = n × a。

例: 5, 10, 20, 40, 80 の和 (a = 5, r = 2, n = 5):
S₅ = 5 × (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 5 × (1 − 32) / (−1) = 5 × (−31) / (−1) = 155

無限和 (ただし |r| < 1 の場合のみ)

S∞ = a / (1 − r), |r| < 1 の場合にのみ有効

例: 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... (a = 1, r = ½, |r| < 1 ✓)
S∞ = 1 / (1 − ½) = 1 / 0.5 = 2。

|r| ≥ 1 の場合、項が一定または無限に増加するので、無限和は ∞ (発散) です。

数列 vs 級数 — どちらをいつ使うか

5つの実例

例1: 5, 15, 45, 135, ... の8番目の項を求める

a = 5, r = 15/5 = 3, n = 8。
a₈ = 5 × 3⁷ = 5 × 2187 = 10,935

例2: 100, 50, 25, ... の最初の6項の和

a = 100, r = ½, n = 6。
S₆ = 100 × (1 − (½)⁶) / (1 − ½)
(½)⁶ = 1/64
S₆ = 100 × (63/64) / (½) = 100 × (63/64) × 2 = 196.875

例3: 4 + 4/3 + 4/9 + ... の無限和

a = 4, r = ⅓, |r| < 1 ✓
S∞ = 4 / (1 − ⅓) = 4 / (⅔) = 6

例4: a₁ = 3, a₅ = 48 が与えられたとき r を求める

a₅/a₁ = r⁴ → 48/3 = r⁴ → r⁴ = 16 → r = ±2 (どちらも有効)

例5: 2, 6, 18, ... の項が和で ≥ 1000 になるのは何項か？

Sₙ = 2(1 − 3ⁿ)/(1 − 3) = (3ⁿ − 1) ≥ 1000
3ⁿ ≥ 1001 → n × log(3) ≥ log(1001) → n ≥ log(1001)/log(3) ≈ 6.29
よって n = 7 項。確認: S₇ = (3⁷ − 1) = 2187 − 1 = 2186 ✓

避けるべき一般的なミス

• 等差と等比の混同: 等差数列は固定の差 (d) を加える；等比は固定の比 (r) を掛ける。
• n番目の項のオフバイワン: 指数は (n − 1) で、n ではない。初項の指数は 0 なので a₁ = a × r⁰ = a。
• |r| ≥ 1 のときに S∞ を適用: 公式 a/(1−r) は |r| < 1 のときのみ収束する。r = 2 (または任意の |r| ≥ 1) では和は無限 — 盲目的に公式を適用しない。
• 負の r での符号エラー: r < 0 の場合、項の符号が交互になる (例: r = −2 で 1, −2, 4, −8, ...)。公式は有効 — n が偶数か奇数かで rⁿ に注意。

これらのいずれかをワンクリックで計算するには、等比数列計算機 を試してください — a, r, n を入力すると n番目の項、部分和、および (適用可能な場合) 無限和を返します。

FAQ

"等比級数" は "等比数列" と同じか？ 数列は項のリスト (2, 6, 18)。級数はそれらの項の和 (2 + 6 + 18 = 26)。同じ数値、異なる操作。

なぜ "等比" と呼ぶか？ 2つの項の等比平均が間の項に等しいから。2, 6, 18 で中央の項 6 = √(2 × 18)。等差では中央の項が平均。

実世界の例？ 複利 (各年が 1 + 利率 で乗算)、跳ねるボール (各跳ねが前の高さの固定分数)、放射性崩壊、人口増加。ステップごとに定数倍率でスケールするもの。