Jedes Polygon — Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck, bis hin zu einem 100-Eck — hat vorhersagbare Winkelformeln basierend auf der Anzahl der Seiten. Zwei Fakten zum Merken und Sie können jedes Polygon-Winkelproblem lösen, das je gestellt wurde:
| Formel | Gleichung | Verwenden bei |
|---|---|---|
| Summe der inneren Winkel | S = (n − 2) × 180° | Jedes Polygon, regulär oder nicht |
| Jeder innere Winkel (nur regulär) | a = (n − 2) × 180° / n | Alle Seiten + Winkel gleich |
| Summe der äußeren Winkel | 360° (immer) | Jedes konvexe Polygon |
| Jeder äußere Winkel (nur regulär) | e = 360° / n | Alle Seiten gleich |
Zusätzliche Identität: An jeder Ecke innere + äußere = 180° (sie sind supplementär).
Wählen Sie ein beliebiges Polygon und zeichnen Sie alle Diagonalen von einer Ecke aus. Sie werden es immer in genau n − 2 Dreiecke aufteilen. Jeder Dreieck hat drei Winkel, die zu 180° summieren, und zusammen füllen ihre Winkel das gesamte Polygon aus. Also:
Summe der Polygon-Winkel = (n − 2) Dreiecke × 180° pro Dreieck = (n − 2) × 180°
Dies ist die wichtigste geometrische Ableitung zum Verständnis — sobald Sie verstehen WARUM, vergessen Sie die Formel nie.
| n (Seiten) | Name | Innensumme | Jeder innere (regulär) | Jeder äußere (regulär) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Dreieck | 180° | 60° | 120° |
| 4 | Viereck | 360° | 90° | 90° |
| 5 | Fünfeck | 540° | 108° | 72° |
| 6 | Sechseck | 720° | 120° | 60° |
| 7 | Siebeneck | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | Achteck | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | Neuneck | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | Zehneck | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | Elfeck | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | Zwölfeck | 1800° | 150° | 30° |
Wenn Sie die Summe der inneren Winkel S kennen, ist die Anzahl der Seiten:
n = S / 180° + 2
Beispiel: S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 Seiten (Tridekagon).
Für ein reguläres Polygon: a = (n − 2) × 180° / n. Löse nach n auf:
n = 360° / (180° − a)
Beispiel: jeder innere Winkel ist 162°. n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 Seiten (Ikosagon).
Fünfeck mit 4 bekannten Winkeln (110°, 95°, 130°, 105°). Summe = (5 − 2) × 180° = 540°. Fehlender Winkel = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°.
"Jeder innere Winkel eines regulären Polygons ist 144°. Wie viele Seiten?" Verwende n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 Seiten (Zehneck).
"In einem Sechseck sind vier Winkel je 120°. Die verbleibenden zwei sind gleich. Finde sie." Summe = 720°. Bekannt = 4 × 120 = 480°. Verbleibende 2 summieren zu 720 − 480 = 240°. Jeder = 120°.
Stellen Sie sich vor, Sie laufen um das Polygon herum. An jeder Ecke drehen Sie sich um den äußeren Winkel. Nach Abschluss der Schleife haben Sie sich um volle 360° gedreht. Dies gilt für JEDE konvexe Polygon — n könnte 3, 100 oder 1000 sein, die Gesamtdrehung ist immer 360°.
Das macht die Formel für den äußeren Winkel pro Ecke trivial e = 360°/n für reguläre Polygone.
Für ein interaktives Tool verwenden Sie unseren Polygon-Winkelsumme-Rechner — geben Sie n ein und erhalten Sie alle vier Werte auf einmal. Um n aus einer bekannten Summe oder einem Winkel zu finden, probieren Sie unseren Polygon-Seiten-Rechner.
Funktionieren diese Formeln für konkave Polygone? Ja für die Innensumme (immer noch (n−2)×180°). Für äußere Winkel können "konkave" negative oder reflexe äußere Winkel haben, die immer noch zu 360° summieren, wenn Sie das Vorzeichen korrekt berücksichtigen. Die meisten Schulprobleme verwenden konvexe Polygone.
Was ist mit Sternpolygonen? Sternpolygone (Pentagramm usw.) folgen anderen Regeln — die obige Formel gilt nur für einfache konvexe/konkave Polygone.
Kann ich Radiant verwenden? Ja. Ersetzen Sie 180° mit π. Summe = (n − 2)π, Außensumme = 2π. Die meisten Schularbeiten us