標準的な幾何学のすべての3D立体 — 立方体、直方体（箱）、円柱、球体、円錐、正方形ピラミッド — は、一行の体積公式と一行の表面積公式を持っています。これらを覚えれば、学校の3D問題の95%をカバーできます。このガイドは、それらすべてを一か所に集め、計算例付きです。
| 立体 | 体積 (V) | 表面積 (SA) |
|---|---|---|
| 立方体 (辺 s) | s³ | 6s² |
| 直方体 (l, w, h) | l × w × h | 2(lw + lh + wh) |
| 円柱 (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| 球体 (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| 円錐 (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, ここで l = √(r² + h²) |
| 正方形ピラミッド (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · slant_height |
| 三角柱 (B, h) | B × h (B = 三角形の面積) | 2B + 周長 × h |
最も単純な3D形状 — すべての12の辺が等しく、6つの正方形の面。
例： 辺が4 cmの立方体： V = 64 cm³, SA = 96 cm², 対角線 = 4√3 ≈ 6.93 cm。
長さ l、幅 w、高さ h。実生活で最も一般的な3D立体（部屋、箱、プール）。
例： 8 × 5 × 3の箱： V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9.90。
2つの円形基底（半径 r）を曲がった側面でつなぎ、高さ h。
例： 円柱 r = 3, h = 10： V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282.74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245.04。
最も単純な3D形状 — 半径だけで定義されます。体積と表面積は両方とも r のみに依存します。
例： 直径24 cmのバスケットボールは r = 12。 V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm²。
1つの円形基底（半径 r）が1点に細くなる、高さ h。この中で最もトリッキーなもので、表面積は斜高（垂直高さではない）を使用します。
例： 円錐 r = 6, h = 8。斜高 l = √(36 + 64) = √100 = 10。 V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301.59 cm²。
正方形基底（辺 b）が点に細くなり、垂直高さ h。
これは幾何学のクールな事実の一つです：同じ基底と高さを持つ円錐と円柱 — 円錐は円柱の体積の正確に1/3です。水を使った実験で検証できます：円錐形の容器を満たし、同じ寸法の円柱に注ぐ — 正確に3杯の円錐分かかります。同じ基底 + 高さのピラミッド対プリズムにも適用されます。
導出の2つの方法：(1) ディスクのスライスによる積分、(2) 円錐を除いた円柱とのカヴァリエリの原理の比較。「(4/3)」は ∫(πr² − πx²) dx を −r から r まで評価した積分から来ます。