Ein Kegel mit derselben Grundfläche und derselben Höhe wie ein Zylinder hat genau ein Drittel des Volumens des Zylinders. Dies ist eine der überraschendsten Tatsachen in der elementaren 3D-Geometrie — der Kegel verjüngt sich gleichmäßig von der Basis zur Spitze, sodass man vielleicht vermutet, er habe die Hälfte des Zylindervolumens (der „Durchschnittsradius" ist halb so groß wie der Radius des Zylinders), tatsächlich ist es aber ein Drittel. Diese Anleitung beweist den Faktor 1/3 auf drei verschiedene Arten: eine praktische Klassenzimmer-Demonstration, eine Herleitung mittels Integralrechnung und das Prinzip von Cavalieri. Jeder Beweis vermittelt eine unterschiedliche Intuition dafür, warum 1/3 korrekt ist.
Für einen Grundradius r und Höhe h:
Die Kegelformel ist die Zylinderformel multipliziert mit 1/3. Dieser 1/3-Faktor ist der Teil, den jeder erklärt haben möchte.
Dies ist der Beweis, den die meisten Lehrer in der Mittel- oder Oberstufe verwenden. Er ist empirisch, nicht symbolisch, aber er lässt keinen Zweifel.
Sie werden feststellen: genau drei Kegelfüllungen füllen den Zylinder. Das Volumen des Zylinders ist dreimal so groß wie das des Kegels. Der Kegel fasst 1/3 des Zylinders.
Diese Demonstration funktioniert unabhängig vom spezifischen Radius oder der Höhe — solange Kegel und Zylinder übereinstimmen. Das Verhältnis 1/3 ist universell.
Für einen rigoroseren Beweis betrachten Sie einen Kegel mit Grundradius r und Höhe h, orientiert mit der Spitze im Ursprung, der in Richtung der z-Achse nach oben zeigt. In der Höhe z von der Spitze ist der Radius des Kegels auf dieser Ebene (durch Ähnlichkeit von Dreiecken):
Radius in Höhe z = (r / h) × z = rz/h
Der Querschnitt in Höhe z ist ein Kreis mit Radius rz/h und Fläche π(rz/h)² = πr²z²/h².
Um das Volumen zu finden, integrieren Sie die Querschnittsfläche von z = 0 (Spitze) bis z = h (Basis):
V = ∫₀ʰ π r² z² / h² dz
Ziehen Sie die Konstanten heraus:
V = (π r² / h²) × ∫₀ʰ z² dz
Das Integral von z² von 0 bis h ist z³/3, ausgewertet an h minus dem Wert an 0, was h³/3 − 0 = h³/3 ergibt.
V = (π r² / h²) × (h³ / 3) = π r² h / 3 = (1/3) π r² h.
Der Faktor 1/3 stammt vom Integral von z² — das heißt von der Tatsache, dass der Radius des Kegels linear mit der Höhe wächst, sodass seine QuerschnittsFLÄCHE quadratisch wächst (∝ z²), und die Integration von z² ergibt z³/3 (die Quelle des 1/3).
Der italienische Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598-1647) entdeckte ein Prinzip, das es ermöglicht, Volumina ohne Integration zu vergleichen: Zwei Körper gleicher Höhe haben dasselbe Volumen, wenn ihre Querschnitte auf jeder horizontalen Ebene dieselbe Fläche haben.
Beginnen Sie mit einem Würfel der Seitenlänge h. Der Würfel hat das Volumen h³. Konstruieren Sie nun drei identische Pyramiden, jede mit einer quadratischen Basis der Seitenlänge h und Höhe h, die zusammen den Würfel genau ausfüllen. (Dies ist die klassische Demonstration „drei gestapelte Pyramiden".) Da die drei Pyramiden den Würfel genau ausfüllen, hat jede Pyramide das Volumen h³/3.
Dies beweist den Faktor 1/3 für Pyramiden mit quadratischer Basis. Wenden Sie nun Cavalieri an: Jede Pyramide oder jeder Kegel mit derselben Grundfläche und derselben Höhe wie eine dieser quadratischen Pyramiden hat dasselbe Volumen. Der Querschnitt stimmt auf jeder Ebene in der Fläche überein (weil die Querschnittsfläche nur vom linearen Skalierungsfaktor abhängt, der auf jeder Ebene für Kegel und Pyramiden gleicher Höhe und Grundfläche identisch ist).
Also: Kegelvolumen = (Grundfläche)(Höhe)/3. Für eine kreisförmige Basis mit Radius r: Grundfläche = πr². Also V_kegel = πr²h/3.
Der „Durchschnittsradius" des Kegels (gemittelt von 0 an der Spitze bis r an der Basis) ist r/2. Daher könnte man vermuten, der Kegel verhalte sich wie ein Zylinder mit Radius r/2, was das Volumen π(r/2)²h = πr²h/4 ergäbe.
Aber diese Berechnung ist falsch, weil der Radius des Kegels NICHT überall gleichmäßig r/2 ist — er ist an der Spitze 0, in der Nähe der Spitze knapp über 0 und wächst linear bis r an der Basis. Der Großteil des Kegelvolumens befindet sich im unteren Teil (wo die Querschnitte größer sind), daher ist der „effektive" Radius größer als der Durchschnitt.
Die Integration von z² anstelle von z² als konstant ist genau das, was dies erfasst. Das 1/3 stammt von der Integration der quadrierten linearen Funktion — quadratisches Wachstum integriert sich zu kubisch, und ∫₀ʰ z² dz / h³ = 1/3 ist die universelle Antwort für jede Form, deren Querschnitt sich quadratisch mit dem Abstand von der Spitze skaliert.
In 2D ist ein „Kegel" ein Dreieck. Seine Fläche ist ½(Grund)(Höhe) — das ist der Faktor 1/2. Das Dreieck verhält sich zum Rechteck gleicher Grundlänge und Höhe wie der Kegel zum Zylinder.
In 3D hat der Kegel über einer 2D-Basis das Volumen (1/3)(Grundfläche)(Höhe). Der Faktor 1/3.
In 4D hat der Kegel über einer 3D-Basis das Hypervolumen (1/4)(Grundvolumen)(Höhe). Der Faktor 1/4.
Das allgemeine Muster: Ein Kegel in n+1 Dimensionen hat das Volumen (1/(n+1)) × (Grundmaß in n Dimensionen) × Höhe. Der Faktor 1/(n+1) stammt von der Integration von xⁿ.
Also ist das 1/3 für den 3D-Kegel Teil einer Familie: es ist einfach der Fall n=2 der allgemeinen Formel. Überhaupt nicht willkürlich.
Eine Eistüte hat einen Grundradius von 2,5 cm und eine Höhe von 10 cm. Wie groß ist ihr Volumen?
V = (1/3) π r² h = (1/3) × π × 2,5² × 10 = (1/3) × π × 6,25 × 10 = 62,5π/3 ≈ 65,45 cm³.
Zum Vergleich: Ein Zylinder mit demselben Radius und derselben Höhe hat das Volumen πr²h = π × 6,25 × 10 = 62,5π ≈ 196,35 cm³. Der Kegel ist genau ein Drittel: 196,35 / 3 = 65,45. ✓
Interessanterweise steht die Oberfläche des Kegels NICHT in einem einfachen 1/3-Verhältnis zu der des Zylinders. Die Mantelfläche des Kegels ist πrℓ, wobei ℓ = √(r² + h²) die Mantellänge ist. Die Mantelfläche des Zylinders ist 2πrh. Diese stehen nicht in einem konstanten Verhältnis zueinander.
Die 1/3-Regel gilt speziell für das Volumen — ein Maß für den 3D-Inhalt. Die Oberfläche ist ein 2D-Maß der Begrenzung und folgt anderen geometrischen Beziehungen.
Der Kugel-/Zylinder-/Kegelrechner verarbeitet alle drei Formen — wählen Sie Kegel, geben Sie Radius und Höhe ein und erhalten Sie das Volumen + die Oberfläche. Die Seite Kegelformel ist eine spezielle Referenz für die Formeln. Für den 3D-Satz des Pythagoras, der die Mantellänge ℓ aus r und h berechnet, siehe den 3D-Pythagoras-Rechner.
Was ist mit einem Kegelstumpf (Kegel mit abgeschnittener Spitze)? Das Volumen eines Kegelstumpfes ist V = (1/3)πh(R² + Rr + r²), wobei R und r die beiden parallelen kreisförmigen Radien und h der senkrechte Abstand zwischen ihnen ist. Vergleichen Sie: Es geht in die Kegelformel über, wenn r=0 ist.